Задача 2. Портфель, тетрадь, линейка и ручка

Что получается при вычёркивании

Вычеркнуть цифру — значит убрать её, а остальные цифры оставить в том же порядке. Например, из $3517$ можно получить $517$, $317$, $357$ или $351$, но не $571$.

В цене портфеля нулей нет, поэтому после каждого вычёркивания получается число без нулей, у которого на одну цифру меньше: тетрадь стоит трёхзначное число рублей, линейка — двузначное, ручка — однозначное, от $1$ до $9$ рублей. Например, покупка $3517 \to 517 \to 57 \to 5$ стоит $3517 + 517 + 57 + 5 = 4096$ рублей.

Нужно понять, можно ли подобрать цифры и вычёркивания так, чтобы вышло ровно $2323$ рубля. Для ответа «да» хватит одного примера, но наугад его искать долго: способов собрать такую покупку очень много. Поэтому будем искать пример рассуждением.

Сколько может стоить портфель

Портфель — самая дорогая покупка, а три остальные добавляют к его цене не так уж много. Оценим сколько.

Тетрадь стоит не больше $999$ рублей, линейка — не больше $99$, ручка — не больше $9$, вместе не больше $999 + 99 + 9 = 1107$ рублей. Значит, портфель стоит не меньше $2323 - 1107 = 1216$ рублей.

Тетрадь стоит не меньше $111$ рублей (нулей в цене нет), линейка — не меньше $11$, ручка — не меньше $1$, вместе не меньше $111 + 11 + 1 = 123$ рублей. Значит, портфель стоит не больше $2323 - 123 = 2200$ рублей.

Цена портфеля — от $1216$ до $2200$ рублей, поэтому её первая цифра — 1 или 2.

Если портфель начинается с двойки

Попробуем первую цифру $2$. Тогда портфель стоит не меньше $2111$ рублей, и на остальные три покупки остаётся не больше $2323 - 2111 = 212$ рублей. Линейка с ручкой стоят хотя бы $12$ рублей, поэтому тетрадь стоит не больше $212 - 12 = 200$ рублей.

Какую цифру вычеркнули первой? Если не двойку в начале, то цена тетради тоже начиналась бы с $2$, и тетрадь стоила бы не меньше $211$ рублей — больше $200$. Значит, вычеркнули первую цифру 2, и цена тетради — три последние цифры цены портфеля. Тетрадь стоит от $111$ до $200$ рублей, поэтому её первая цифра — $1$. Две последние цифры обозначим буквами $c$ и $d$, а число из них — $\overline{cd}$:

Портфель дороже тетради ровно на $2000$ рублей, поэтому портфель и тетрадь вместе стоят

а на линейку и ручку остаётся $2323 - 2200 - 2\cdot\overline{cd} = 123 - 2\cdot\overline{cd}$ рублей.

Ручка — первая цифра линейки

Число $123 - 2\cdot\overline{cd}$ нечётное: из нечётного числа $123$ вычитаем чётное. Значит, линейка и ручка вместе стоят нечётное число рублей.

Пусть линейка стоит $\overline{pq}$, то есть $10p + q$ рублей. Если ручка — последняя цифра $q$, то вместе они стоят $10p + q + q = 10p + 2q$ рублей, а это чётное число. Так не бывает. Значит, ручка — первая цифра линейки: из цены линейки вычеркнули последнюю цифру.

Подбираем цифры c и d

Линейка получается из тетради $\overline{1cd}$, поэтому её цифры — две из цифр $1$, $c$, $d$. Попробуем оставить в линейке единицу. Она окажется первой цифрой линейки, значит, ручка стоит $1$ рубль, а линейка — $\overline{1q}$, то есть $10 + q$ рублей, где $q$ — это $c$ или $d$. Сложим всю покупку:

Цифра $q$ — от $1$ до $9$, поэтому $2\cdot\overline{cd}$ — от $112 - 9 = 103$ до $112 - 1 = 111$, а $\overline{cd}$ — от $52$ до $55$. Для каждого из четырёх чисел найдём $q = 112 - 2\cdot\overline{cd}$ и проверим, есть ли такая цифра в числе $\overline{cd}$:

• $\overline{cd} = 52$: $q = 112 - 104 = 8$ — цифры $8$ в числе $52$ нет;

• $\overline{cd} = 53$: $q = 112 - 106 = 6$ — цифры $6$ нет;

• $\overline{cd} = 54$: $q = 112 - 108 = 4$ — есть: это $d$, а вычеркнули $c = 5$;

• $\overline{cd} = 55$: $q = 112 - 110 = 2$ — цифры $2$ нет.

Подходят $c = 5$ и $d = 4$: тетрадь стоит $154$ рубля, линейка — $14$, ручка — $1$, а портфель — $2154$ рубля.

Проверка и ответ

Проверим покупку по условию. Портфель стоит $2154$ рубля — четырёхзначное число без нулей. Вычеркнем $2$ — получим $154$, цену тетради. Вычеркнем в $154$ цифру $5$ — получим $14$, цену линейки. Вычеркнем в $14$ цифру $4$ — получим $1$, цену ручки. Вместе:

Ответ: да, могла. Для ответа «да» достаточно одной покупки, в которой выполнены все условия. Оценка, чётность и перебор четырёх чисел понадобились, только чтобы такую покупку найти.

Второй вариант

Во втором варианте Витя покупает в магазине «Всё для кухни» миксер, кастрюлю, тарелку и пакет, а итог должен быть $4495$ рублей. Рассуждаем так же.

Кастрюля, тарелка и пакет вместе стоят от $123$ до $1107$ рублей, поэтому миксер стоит от $4495 - 1107 = 3388$ до $4495 - 123 = 4372$ рублей — первая цифра $3$ или $4$. Попробуем $4$. Тогда остальные три покупки стоят не больше $4495 - 4111 = 384$ рублей, а кастрюля — не больше $384 - 12 = 372$. С первой цифрой $4$ она стоила бы не меньше $411$, значит, вычеркнули первую четвёрку: миксер $\overline{4bcd}$, кастрюля $\overline{bcd}$, и вместе они стоят $4000 + 2\cdot\overline{bcd}$. На тарелку и пакет остаётся $495 - 2\cdot\overline{bcd}$ рублей — нечётное число, поэтому, как и в первом варианте, пакет — первая цифра тарелки.

Попробуем оставить в тарелке цифру $b$: пакет стоит $b$ рублей, тарелка — $\overline{bq}$, где $q$ — это $c$ или $d$. Тогда

При $b = 1$ нужно $2\cdot\overline{cd} + q = 284$, а больше $2\cdot 99 + 9 = 207$ не бывает; при $b = 3$ уже $211\cdot 3 = 633 > 495$. Остаётся $b = 2$:

Цифра $q$ — от $1$ до $9$, поэтому $\overline{cd}$ — от $32$ до $36$:

• $\overline{cd} = 32$: $q = 73 - 64 = 9$ — цифры $9$ в числе $32$ нет;

• $\overline{cd} = 33$: $q = 7$ — нет;

• $\overline{cd} = 34$: $q = 5$ — нет;

• $\overline{cd} = 35$: $q = 3$ — есть: это $c$, а вычеркнули $d = 5$;

• $\overline{cd} = 36$: $q = 1$ — нет.

Миксер стоит $4235$ рублей, кастрюля — $235$ (вычеркнули $4$), тарелка — $23$ (вычеркнули $5$), пакет — $2$ (вычеркнули $3$). Проверка: в $4235$ нулей нет, $4235 \to 235 \to 23 \to 2$, и $4235 + 235 + 23 + 2 = 4495$. Ответ: да, могла.

Отличие от первого варианта: из кастрюли вычёркивают последнюю цифру ($235 \to 23$), а в первом варианте из тетради — среднюю ($154 \to 14$). Перебор всех покупок показывает, что и во втором варианте подходящая покупка одна.