Задача 1. Прямоугольник с двумя вырезами

Четыре части фигуры

Размеры вырезов в условии не даны. Значит, нужно рассуждение, которое обойдётся без них. Посмотрим, что мы всё-таки знаем.

Две прямые разрезают фигуру на четыре части. Пронумеруем их, как на рисунке ниже: 1 — левая верхняя, 2 — правая верхняя, 3 — левая нижняя, 4 — правая нижняя. Их площади (в дм²) обозначим $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$.

На схеме верхний вырез лежит правее вертикальной прямой и выше горизонтальной — целиком в части 2, а нижний вырез — целиком в части 3. Поэтому части 1 и 4 — целые прямоугольники, и их стороны отмечены на схеме:

• часть 1 — прямоугольник $3\times 4$, поэтому $S_1 = 3\cdot 4 = 12$;

• часть 4 — прямоугольник $x\times 2$, поэтому $S_4 = 2x$.

Площади частей 2 и 3 зависят от вырезов, и найти их нельзя. Поэтому будем искать равенство, в которое $S_2$ и $S_3$ не входят.

Левая и нижняя половины

Вертикальная прямая делит фигуру пополам. Значит, левая часть фигуры — части 1 и 3 — составляет ровно половину всей площади $S$:

Горизонтальная прямая тоже делит фигуру пополам, поэтому нижняя часть — части 3 и 4 — тоже ровно половина:

Левая и нижняя половины равны, и часть 3 входит в обе. Уберём её из обеих — остатки тоже равны:

Почему именно эти половины: нам мешают неизвестные $S_2$ и $S_3$. В левую и нижнюю половины часть 2 не входит вовсе, а часть 3 входит в обе — и при сравнении сокращается. То же получится, если сложить два равенства из условия, $S_1 + S_3 = S_2 + S_4$ и $S_1 + S_2 = S_3 + S_4$: после сокращения $S_2$ и $S_3$ останется $2S_1 = 2S_4$.

Находим x

Подставим площади из шага 1 в равенство $S_1 = S_4$:

Размеры вырезов не понадобились: какими бы они ни были, если обе прямые делят фигуру пополам, то $x = 6$ дм.

Такая фигура действительно есть

Проверим, что условие выполнимо, — иначе искать было бы нечего. При $x = 6$ части 1 и 4 равны: $S_1 = S_4 = 12$. Тогда левая половина равна $12 + S_3$, правая — $S_2 + 12$, верхняя — $12 + S_2$, нижняя — $S_3 + 12$. Обе прямые делят фигуру пополам, если ещё и $S_2 = S_3$.

Без выреза часть 2 — прямоугольник $6\times 4$ площадью $24$, часть 3 — прямоугольник $3\times 2$ площадью $6$. Чтобы стало $S_2 = S_3$, верхний вырез должен быть на $24 - 6 = 18$ дм² больше нижнего. Например, вырезы $5\times 3{,}8$ (площадь $19$) и $1\times 1$ (площадь $1$):

Тогда каждая из четырёх половин равна $12 + 5 = 17$ дм² — ровно половине площади фигуры, $34$ дм² (рисунок ниже — в масштабе).

Заметь: в настоящей фигуре верхний вырез занимает больше трёх четвертей части 2, а на схеме он гораздо меньше. Схема нарисована не в масштабе (на ней даже отрезки 4 дм и 2 дм одной длины), поэтому измерять по ней нельзя — только рассуждать.

Второй вариант

Текст условия тот же, другие подписи на схеме: сверху от левого края до вертикальной прямой — $x$, слева — 4 дм, справа — 2 дм, снизу от вертикальной прямой до правого края — 6 дм.

Рассуждение то же. Вырезы лежат в частях 2 и 3, поэтому часть 1 — прямоугольник $x\times 4$, а часть 4 — прямоугольник $6\times 2$:

Левая половина ($S_1 + S_3$) и нижняя ($S_3 + S_4$) — обе равны половине площади фигуры, поэтому $S_1 = S_4$:

Ответ: $x = 3$ дм. Такая фигура бывает — это та же фигура, что в шаге 4: вырезы $5\times 3{,}8$ и $1\times 1$, все половины по $17$ дм². Модель переключается на второй вариант кнопкой «2 вариант».