Олимпиада СПб 2023 · Математика · 6 кл., №3

Условие

На бесконечном листе бумаги в треугольную клеточку можно закрашивать полосы шириной в одну клетку. Такие полосы бывают трех разных направлений. В одном направлении закрасили 5 полос, в другом 6, в третьем — 7. В результате некоторые клетки остались неокрашенными, некоторые покрашены 1 раз, некоторые 2, а некоторые даже 3 раза. Клеток, покрашенных 3 раза, оказалось 34 штуки. Сколько клеток покрашено 2 раза? Не забудьте обосновать ответ.

Рисунок к условию

Второй вариант этой задачи

На олимпиаде соседи по парте получают разные варианты. Условие второго варианта:

На бесконечном листе бумаги в треугольную клеточку можно закрашивать полосы шириной в одну клетку. Такие полосы бывают трех разных направлений. В одном направлении закрасили 8 полос, в другом 6, в третьем — 5. В результате некоторые клетки остались неокрашенными, некоторые покрашены 1 раз, некоторые 2, а некоторые даже 3 раза. Клеток, покрашенных 3 раза, оказалось 37 штук. Сколько клеток покрашено 2 раза? Не забудьте обосновать ответ.

Его решение и ответ — в последнем шаге разбора.

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике, 90-я (2024)
Этап: I тур (районный)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Дата: 18 ноября 2023 г.

Нарисуй кусок треугольной сетки и закрась несколько полос разных направлений: какие клетки окажутся покрашены 2 раза, а какие — 3? Пересчитать клетки бесконечного листа поштучно не выйдет, поэтому ищи, от чего зависит ответ. В модели «Раскрась полосы сам» закрашивай полосы, следи, сколько клеток покрашено 2 и 3 раза, и попробуй собрать раскраску как в условии — а потом другую. Поле ниже проверяет число для первого варианта (условие выше).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРаскрась полосы сам

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Раскрась полосы сам

Закрашивай полосы трёх направлений на листе в треугольную клетку — модель посчитает, сколько клеток покрашено 2 и 3 раза. Собери раскраску как в условии: 5, 6 и 7 полос и 34 клетки, покрашенные трижды. Сколько клеток тогда покрашено дважды — и будет ли так же в другой такой раскраске? (Во 2 варианте — 8, 6 и 5 полос и 37 клеток.)

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй на бумаге в треугольную клетку по одной полосе каждого направления и посчитай клетки, покрашенные 2 и 3 раза. Потом сдвинь одну полосу так, чтобы все три прошли через одну клетку, и посчитай снова. Что изменилось, а что осталось прежним?

Подсказка 1

Клетка, покрашенная 2 раза, лежит сразу в двух закрашенных полосах, а покрашенная 3 раза — в трёх. Не считай клетки по одной: посмотри на пары полос разных направлений. Что общего у двух таких полос?

Подсказка 2

Две полосы разных направлений всегда пересекаются ровно по двум клеткам — по ромбику, где бы они ни лежали. Сосчитай все пары полос разных направлений и запиши в список для каждой пары две её общие клетки. Сколько раз в этом списке окажется клетка, покрашенная 2 раза? А клетка, покрашенная 3 раза? Из трёх её полос можно составить три пары. Длину списка теперь можно найти двумя способами.

Разобрать решение по шагам

Где бывают клетки, покрашенные 2 и 3 раза

Полоса — это ряд клеток между двумя соседними параллельными линиями сетки. Полосы одного направления лежат рядом, как строчки в тетради, и не накладываются: у двух разных полос одного направления нет общих клеток. А все полосы одного направления вместе покрывают весь лист. Поэтому каждая клетка лежит ровно в одной полосе каждого направления.

Значит, клетку красят не больше трёх раз — не больше одного раза полосой каждого направления. Клетка, покрашенная 2 раза, лежит в двух закрашенных полосах разных направлений. Клетка, покрашенная 3 раза, — в трёх закрашенных полосах, по одной каждого направления.

Зачем это нужно: дважды и трижды покрашенные клетки бывают только там, где встретились полосы разных направлений. Поэтому дальше разберёмся, как встречаются две такие полосы.

Две полосы разных направлений

Возьмём, например, горизонтальную полосу и наклонную. Горизонтальная полоса — это ряд треугольников между двумя соседними горизонтальными линиями. Наклонная полоса пересекает этот ряд и вырезает из него кусок между двумя соседними наклонными линиями. Получается ромбик со стороной в одну клетку (рисунок ниже). Внутри ромбика проходит только одна линия сетки — линия третьего направления. Она соединяет два тупых угла ромбика и делит его на два треугольника. Других линий внутри нет.

Значит, у любых двух полос разных направлений ровно $2$ общие клетки, где бы эти полосы ни лежали. Для двух наклонных полос разных направлений всё так же — их ромбик просто повёрнут.

Слева горизонтальная полоса пересекает наклонную, справа — две наклонные полосы разных направлений. Общая часть двух полос обведена: это ромбик ровно из двух клеток. Цифра в клетке — сколько раз она покрашена.

Считаем пары полос

Составим все пары закрашенных полос разных направлений. В одном направлении $5$ полос, в другом $6$ каждую из $5$ полос можно взять с каждой из $6$ это $5\cdot 6=30$ пар. Так же получается $6\cdot 7=42$ пары для второго и третьего направлений и $5\cdot 7=35$ пар для первого и третьего. Всего

30+42+35=107

пар. Для каждой пары запишем в список её $2$ общие клетки. В списке получится

2\cdot 107=214

записей. Одна клетка может попасть в список несколько раз — посмотрим, сколько.

Сколько раз записана каждая клетка

Клетка, покрашенная $1$ раз или ни разу, не лежит сразу в двух закрашенных полосах — в списке её нет.

Клетка, покрашенная $2$ раза, лежит в двух закрашенных полосах разных направлений. Пара таких полос у неё одна, поэтому она записана $1$ раз.

Клетка, покрашенная $3$ раза, лежит в трёх полосах — назовём их $A$ $B$ и $C$ Из них составляются три пары: $A$ и $B$ $A$ и $C$ $B$ и $C$ Поэтому она записана $3$ раза.

Теперь посчитаем записи по клеткам. Трижды покрашенных клеток $34$ они дают $3\cdot 34=102$ записи. Остальные записи — по одной на каждую дважды покрашенную клетку. Значит, дважды покрашенных клеток

214-102=112.

Дважды покрашено $112$ клеток. Это число не зависит от того, где лежат полосы: важно только, сколько их и сколько клеток покрашено трижды.

Проверка правила на маленьком примере: по одной полосе каждого направления — это

3

пары и

2\cdot 3=6

записей. Слева полосы лежат врозь:

6

клеток покрашены дважды. Справа горизонтальная полоса сдвинута на ряд вниз, и все три полосы проходят через одну клетку: она покрашена трижды, а три соседние с ней — дважды. В обоих случаях дважды покрашенные клетки плюс утроенное число трижды покрашенных дают

6

Раскраска как в условии бывает. Пример из модели:

5

горизонтальных полос,

6

полос с наклоном влево и

7

— с наклоном вправо. Трижды покрашено

34

клетки, дважды —

112

как и получилось в решении.

Второй вариант

Рассуждение то же, меняются только числа. Полос $8$ $6$ и $5$ пар полос разных направлений

8\cdot 6+6\cdot 5+8\cdot 5=48+30+40=118.

У каждой пары ровно $2$ общие клетки, в списке $2\cdot 118=236$ записей. Трижды покрашенные $37$ клеток дают $3\cdot 37=111$ записей, остальные записи — по одной на каждую дважды покрашенную клетку:

236-111=125.

Дважды покрашено $125$ клеток.

Такая раскраска бывает. Возьмём на листе правильный шестиугольник со стороной $4$ клетки (в модели он обведён пунктиром). Через него проходят по $8$ полос каждого направления; пронумеруем их: горизонтальные — сверху вниз, наклонные — слева направо. Закрасим все $8$ горизонтальных полос, из полос с наклоном влево — 1-ю, 2-ю, 3-ю, 4-ю, 7-ю и 8-ю ( $6$ полос), из полос с наклоном вправо — 1-ю, 2-ю, 3-ю, 7-ю и 8-ю ( $5$ полос). Тогда трижды покрашено $37$ клеток, а дважды — $125$ (это пример модели для второго варианта, кнопка «Показать пример»).

Проверка

Правило шага 4 видно на маленьком примере (первый рисунок после шага 4): три полосы, $3$ пары, $6$ записей, и в обоих случаях $6+3\cdot 0=3+3\cdot 1=6$

Условие выполнимо: раскраска с $5$ $6$ и $7$ полосами, где трижды покрашено ровно $34$ клетки, существует — она на втором рисунке после шага 4 и в модели (кнопка «Показать пример»). В ней дважды покрашено $112$ клеток, как и получилось в решении. Клетки, покрашенные один раз, и непокрашенные там, конечно, тоже есть — лист бесконечный.

Компьютерная проверка. Для всех $1875$ пар полос разных направлений с номерами от $-12$ до $12$ подсчитаны общие клетки — всегда ровно $2$ Правило «дважды покрашенные + 3 · трижды покрашенные = 2 · число пар» проверено прямым подсчётом клеток для $3000$ раскрасок с разным числом полос и для всех $262\,144$ раскрасок, где номера полос — от $0$ до $5$ Перебраны все $75\,264$ раскраски с $5$ $6$ и $7$ полосами на восьми местах модели в каждом направлении: трижды покрашено от $26$ до $52$ клеток, у $2544$ раскрасок — ровно $34$ и у каждой из них дважды покрашено $112$ клеток.

Ответ

1 вариант. Дважды покрашено $112$ клеток.

2 вариант. Дважды покрашено $125$ клеток.

Ответ

1 вариант. Дважды покрашено $112$ клеток.

2 вариант. Дважды покрашено $125$ клеток.

Главная идея

Две полосы разных направлений всегда пересекаются ровно по двум клеткам. Поэтому общих клеток у всех пар полос, если считать с повторами, $2\cdot(5\cdot 6+6\cdot 7+5\cdot 7)=214$ . В этом подсчёте дважды покрашенная клетка встречается один раз, а трижды покрашенная — три раза (из её трёх полос составляются три пары). Значит, дважды покрашено $214-3\cdot 34=112$ клеток.

Признаки: объектов бесконечно много или их неудобно перебирать, но каждое «событие» — здесь пересечение двух полос — устроено одинаково и легко считается. Тогда пары «клетка — пересечение» считают двумя способами: по пересечениям (пары полос, по $2$ клетки в каждой) и по клеткам (каждая клетка — столько раз, сколько пар полос через неё проходит). Так же решают задачи о рукопожатиях, о точках пересечения прямых, о клетках, накрытых несколькими фигурами.

Где легко ошибиться

Ответить $214$ или $214-34=180$ — забыть, что трижды покрашенная клетка попала в подсчёт три раза, а не один. Решить, что две полосы пересекаются по одной клетке, — тогда выходит $107-102=5$ хотя на рисунке видно две. Думать, что ответ зависит от расположения полос, и искать «ту самую» раскраску: при данных числах полос и трижды покрашенных клеток число дважды покрашенных всегда одно и то же. И ещё: собрать одну раскраску в модели и решить, что ответ доказан. Пример показывает только, что такое бывает; почему всегда $112$ доказывает подсчёт пар.

Источник и авторство

Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике · 90-я олимпиада (2024 год) · I тур (районный), 18 ноября 2023 г. · 6 класс, задача 3.

Условия (PDF организатора, первый вариант) ↗ · Листки олимпиады, оба варианта (ZIP организатора) ↗ · Страница олимпиады 2024 года ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие первого варианта — из файла организатора, второй вариант переписан с листка, рисунок перерисован по оригиналу. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Организатор не публикует решений районного тура. Ответы обоих вариантов получены двумя независимыми решениями и совпали; где можно, проверены перебором или вычислением.

На сайте олимпиады: «Распространение представленных материалов разрешается и приветствуется.»

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Начальный вход

Правило умножения: из 5 полос одного направления и 6 другого можно составить 5· 6 пар
Одно и то же количество можно посчитать двумя способами — ответ один
Треугольная сетка: линии трёх направлений, клетки — одинаковые треугольники

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →