Задача 1. Кастрюля, тарелка и пакет

Что получается при вычёркивании

Цена кастрюли — трёхзначное число, и каждая его цифра от $1$ до $9$. Вычеркнуть цифру — значит убрать её, а две другие оставить в том же порядке. Например, из $254$ можно получить $54$, $24$ или $25$, но не $52$.

Значит, тарелка стоит двузначное число рублей без нулей, а пакет — одну из двух цифр цены тарелки, то есть от $1$ до $9$ рублей. Например, покупка $254 \to 24 \to 4$ стоит $254 + 24 + 4 = 282$ рубля.

Нужно понять, можно ли так подобрать цифры, чтобы три цены в сумме дали ровно $817$ рублей.

Сколько может стоить кастрюля

Кастрюля — самая дорогая покупка, тарелка и пакет добавляют к её цене совсем немного. Оценим, сколько именно.

Тарелка стоит не больше $99$ рублей, пакет — не больше $9$, вместе не больше $99 + 9 = 108$ рублей. Значит, кастрюля стоит не меньше $817 - 108 = 709$ рублей.

Тарелка стоит не меньше $11$ рублей (нулей в цене нет), пакет — не меньше $1$, вместе не меньше $12$ рублей. Значит, кастрюля стоит не больше $817 - 12 = 805$ рублей.

Среди чисел от $709$ до $805$ ноль есть в $709$ и $710$, в круглых $720$, $730$, …, $790$ и в $800$–$805$. Все остальные числа лежат между $711$ и $799$ — значит, первая цифра цены кастрюли — 7.

Вычеркнем семёрку

Какую цифру вычеркнуть? Попробуем ту, которую мы уже знаем, — первую, семёрку. Тогда тарелка стоит столько, сколько записано последними двумя цифрами кастрюли, а кастрюля дороже тарелки ровно на $700$ рублей. Например, если бы кастрюля стоила $743$ рубля, тарелка стоила бы $43$ рубля, и $743 = 700 + 43$. Так и в общем случае:

Тогда вся покупка — это $700$ рублей, две одинаковые тарелки и пакет:

Вычтем $700$ из обеих частей: две тарелки и пакет вместе стоят $817 - 700 = 117$ рублей,

Подбираем тарелку

Пакет стоит от $1$ до $9$ рублей, поэтому две тарелки стоят от $117 - 9 = 108$ до $117 - 1 = 116$ рублей, а одна тарелка — от $54$ до $58$ рублей. Таких тарелок всего пять. Для каждой найдём пакет $117 - 2 \cdot \text{тарелка}$ и проверим, что это одна из цифр цены тарелки:

• тарелка $54$: пакет $117 - 108 = 9$, но в числе $54$ нет цифры $9$;

• тарелка $55$: пакет $117 - 110 = 7$ — цифры $7$ нет;

• тарелка $56$: пакет $117 - 112 = 5$ — есть: вычеркнем $6$, останется $5$;

• тарелка $57$: пакет $117 - 114 = 3$ — цифры $3$ нет;

• тарелка $58$: пакет $117 - 116 = 1$ — цифры $1$ нет.

Подходит только тарелка за $56$ рублей и пакет за $5$ рублей. Кастрюля тогда стоит $700 + 56 = 756$ рублей.

Проверка и ответ

Проверим покупку по условию. Кастрюля стоит $756$ рублей — трёхзначное число без нулей. Вычеркнем $7$ — получим $56$, цену тарелки. Вычеркнем в $56$ цифру $6$ — получим $5$, цену пакета. Вместе:

Ответ: да, мог. Для ответа «да» достаточно одной покупки, в которой выполнены все условия. Оценка и вычёркивание семёрки понадобились, только чтобы такую покупку быстро найти.

Есть и другие покупки на $817$ рублей — в них из цены кастрюли вычёркивают не первую цифру: $729 + 79 + 9$, $735 + 75 + 7$ и $737 + 73 + 7$.

Второй вариант

Во втором варианте Маша покупает в магазине «Все для дома» подушку, ёршик и пакет, а итог должен быть $902$ рубля. Рассуждаем так же.

Ёршик с пакетом стоят от $12$ до $108$ рублей, поэтому подушка стоит от $902 - 108 = 794$ до $902 - 12 = 890$ рублей. Числа без нулей среди них лежат от $794$ до $799$ или между $811$ и $889$ (круглые $820$, …, $880$ отпадают) — первая цифра $7$ или $8$. Попробуем подушку с первой цифрой $8$ и вычеркнем эту восьмёрку. Тогда $\text{подушка} = 800 + \text{ёршик}$ и

то есть два ёршика и пакет стоят $902 - 800 = 102$ рубля:

Пакет стоит от $1$ до $9$ рублей, поэтому два ёршика стоят от $93$ до $101$ рубля, а ёршик — от $47$ до $50$ рублей:

• ёршик $47$: пакет $102 - 94 = 8$ — цифры $8$ в числе $47$ нет;

• ёршик $48$: пакет $102 - 96 = 6$ — цифры $6$ нет;

• ёршик $49$: пакет $102 - 98 = 4$ — есть: вычеркнем $9$, останется $4$;

• ёршик $50$: в цене ноль — не подходит.

Подушка стоит $800 + 49 = 849$ рублей. Проверка: в $849$ нулей нет, $849 \to 49 \to 4$, и $849 + 49 + 4 = 902$. Ответ: да, могла.

Перебор находит ещё три такие покупки: $812 + 82 + 8$, $813 + 81 + 8$ и $814 + 84 + 4$. С подушкой за $794$–$799$ рублей покупок на $902$ рубля нет — но для ответа «да» это и не нужно.