Олимпиада СПб 2023 · Математика · 6 кл., №2

Условие

В городах А и Б живут оптимисты и пессимисты, при этом все они блондины или брюнеты. Каждый житель поехал утром в другой город на автобусе, а вечером вернулся. Оказалось, что в каждом автобусе, ходившем в тот день из А в Б, количество пессимистов было на треть больше числа блондинов. А в каждом автобусе из Б в А число брюнетов было на одну восьмую больше числа оптимистов. Кого больше среди жителей обоих городов вместе — блондинов или брюнетов — и во сколько раз?

Второй вариант этой задачи

На олимпиаде соседи по парте получают разные варианты. Условие второго варианта:

Во дворцах Ю и Я живут цари и шахи, каждый из них либо добрый, либо злой. Каждый правитель отбыл утром в другой дворец на монарховозе, а вечером вернулся. Оказалось, что в каждом монарховозе, ехавшем в тот день из Ю в Я, количество царей было на четверть больше числа добрых монархов. А в каждом монарховозе из Я в Ю число злых было на одну десятую больше числа шахов. Кого больше среди жителей обоих дворцов вместе — царей или шахов — и во сколько раз?

Его решение и ответ — в последнем шаге разбора.

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике, 90-я (2024)
Этап: I тур (районный)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Дата: 18 ноября 2023 г.

Сначала придумай сам хотя бы один подходящий день: сколько жителей каждого вида живёт в городах, чтобы правило выполнялось в каждом автобусе. В модели «Засели два города» поменяй жителей и посмотри, в каком автобусе и почему правило нарушено. Когда день подойдёт, сравни блондинов и брюнетов — и попробуй собрать другой подходящий день.

Ответ из двух частей: кого больше — блондинов или брюнетов — и во сколько раз.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗасели два города

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Засели два города

Задай, сколько жителей каждого вида живёт в городах А и Б. Модель проверит правило условия в каждом автобусе за день. Удастся ли собрать подходящий день? Кого тогда больше — блондинов или брюнетов — и меняется ли ответ от одного подходящего дня к другому? (Во 2 варианте — дворцы Ю и Я, цари и шахи.)

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Придумай на бумаге жителей города А: сколько среди них блондинов и брюнетов, оптимистов и пессимистов. Проверь правило для автобуса из А в Б (утром) и из Б в А (вечером) — в обоих едут одни и те же жители А.

Подсказка 1

Автобусов может быть сколько угодно, и в каждом свои пассажиры. Не разглядывай автобусы по одному: подумай, кто вообще за этот день проехал из А в Б и сколько раз проехал каждый житель.

Подсказка 2

Житель А едет из А в Б утром, житель Б — вечером, так что каждый житель проезжает из А в Б ровно один раз, а из Б в А — тоже один раз. Сложи автобусы одного направления: правила станут правилами для всех жителей сразу. Потом сосчитай всех жителей двумя способами — «блондины + брюнеты» и «оптимисты + пессимисты», — подставь правила и убери одинаковое. Удобно принять треть блондинов за одну часть.

Разобрать решение по шагам

Кто ехал из А в Б

Посмотрим на весь день сразу. Вечером жители возвращаются тоже на автобусах — это автобусы того же дня, о которых говорит условие («в каждом автобусе, ходившем в тот день»). Житель города А утром едет из А в Б, а вечером возвращается — из Б в А. Житель города Б наоборот: утром едет из Б в А, а вечером — из А в Б.

Значит, каждый житель за этот день ровно один раз проехал из А в Б и ровно один раз — из Б в А. Все автобусы из А в Б вместе, утренние и вечерние, перевезли всех жителей обоих городов, каждого по одному разу. Так же и автобусы из Б в А.

Зачем это нужно: условие говорит про каждый автобус по отдельности, а спрашивают про всех жителей сразу. Мостик между ними — то, что в автобусах одного направления каждый житель встречается ровно один раз. Сколько было автобусов и кто с кем ехал, нам знать не нужно.

Кто куда едет за день. Жители А утром едут из А в Б, а вечером — обратно; жители Б — наоборот. Поездки из А в Б выделены синим: в каждой строке такая клетка одна, поэтому каждый житель проезжает из А в Б ровно один раз, а из Б в А — тоже один раз.

От каждого автобуса — ко всем жителям

«Пессимистов на треть больше, чем блондинов» значит: пессимистов столько, сколько блондинов, и ещё треть от числа блондинов. Например, если в автобусе $6$ блондинов, то пессимистов в нём $6+2=8$

Сложим автобусы из А в Б. Пусть в одном ехали $3$ блондина и $4$ пессимиста, а в другом — $6$ блондинов и $8$ пессимистов. Вместе блондинов $9$ а пессимистов $12=9+3$ и $3$ — это как раз треть от $9$ Так будет при любых автобусах: в каждом пессимистов — это блондины плюс их треть, а когда складываем, сумма третей равна трети суммы:

\frac{3}{3}+\frac{6}{3}=\frac{3+6}{3}.

По шагу 1 в автобусах из А в Б вместе ехали все жители, каждый по одному разу. Поэтому среди всех жителей обоих городов пессимистов на треть больше, чем блондинов. Так же по автобусам из Б в А: всех брюнетов на одну восьмую больше, чем всех оптимистов.

Сосчитаем всех жителей двумя способами

Дальше «блондины», «брюнеты», «оптимисты», «пессимисты» — это сколько их среди всех жителей обоих городов.

Каждый житель — блондин или брюнет, и каждый — оптимист или пессимист. Поэтому всех жителей можно сосчитать двумя способами:

\text{блондины}+\text{брюнеты}=\text{оптимисты}+\text{пессимисты}.

По шагу 2 брюнетов столько, сколько оптимистов, и ещё восьмая часть оптимистов, а пессимистов столько, сколько блондинов, и ещё треть блондинов. Подставим:

\text{блондины}+\text{оптимисты}+\frac{1}{8}\cdot\text{оптимисты}=\text{оптимисты}+\text{блондины}+\frac{1}{3}\cdot\text{блондины}.

Слева и справа есть одни и те же блондины и оптимисты — уберём их из обеих частей. Останется

\frac{1}{8}\cdot\text{оптимисты}=\frac{1}{3}\cdot\text{блондины}.

Словами: насколько брюнетов больше, чем оптимистов, настолько же пессимистов больше, чем блондинов. Это понятно и без формул: обе пары — это все жители, поэтому «лишние» в них равны.

Считаем частями

Назовём частью число из шага 3: треть блондинов, она же восьмая часть оптимистов. Тогда

блондинов $3$ части;

пессимистов на треть больше: $3+1=4$ части;

оптимистов $8$ частей;

брюнетов на одну восьмую больше: $8+1=9$ частей.

Проверка: блондины и брюнеты вместе — $3+9=12$ частей, оптимисты и пессимисты — $8+4=12$ частей. Всех жителей мы сосчитали одинаково.

Жители в городах есть, поэтому часть — не ноль: если бы часть была нулём, не было бы ни блондинов, ни брюнетов. Брюнетов $9$ частей, блондинов $3$ части, значит,

\frac{9}{3}=3:

брюнетов в $3$ раза больше, чем блондинов.

Все жители — две полоски одинаковой длины, по

12

частей. Сверху: блондины

3

части и брюнеты

9

Снизу: пессимисты

4

части и оптимисты

8

Выделенная часть одна и та же: на неё пессимистов больше, чем блондинов (

4=3+1

), и на неё же брюнетов больше, чем оптимистов (

9=8+1

Второй вариант

Схема та же, меняются герои и доли. Каждый правитель ровно один раз проехал из Ю в Я (правители Ю — утром, правители Я — вечером) и ровно один раз из Я в Ю. Складывая монарховозы одного направления, получаем для всех правителей обоих дворцов вместе: царей на четверть больше, чем добрых, и злых на одну десятую больше, чем шахов.

Обрати внимание на отличие: спрашивают про царей и шахов, а в первом правиле «больше» как раз у царей (в первом варианте — у пессимистов, а спрашивали про блондинов). Решать от этого не труднее.

Всех правителей считаем двумя способами: цари + шахи = добрые + злые. Царей столько, сколько добрых, и ещё четверть добрых; злых столько, сколько шахов, и ещё десятая часть шахов. Подставим:

\text{добрые}+\frac{1}{4}\cdot\text{добрые}+\text{шахи}=\text{добрые}+\text{шахи}+\frac{1}{10}\cdot\text{шахи}.

Уберём одинаковое: четверть добрых равна десятой части шахов. Это одна часть. Добрых $4$ части, царей $4+1=5$ частей, шахов $10$ частей, злых $10+1=11$ частей; проверка: $5+10=15=4+11$ Шахов $10$ частей, царей $5$ — шахов в $2$ раза больше.

Такой день бывает: в каждом дворце $15$ правителей — $4$ добрых царя, $1$ злой царь и $10$ злых шахов, по одному монарховозу в каждую сторону. Из Ю в Я едут $4$ добрых и $5=4+1$ царей, из Я в Ю — $10$ шахов и $11=10+1$ злых.

Проверка

Проверим, что такой день действительно бывает. Пусть в каждом городе живут $12$ человек: $3$ блондина-оптимиста, $5$ брюнетов-оптимистов и $4$ брюнета-пессимиста, и из каждого города в каждую сторону ходит один автобус со всеми его жителями. В автобусе из А в Б едут $3$ блондина и $4$ пессимиста: $4=3+1$ на треть больше. В автобусе из Б в А — $8$ оптимистов и $9$ брюнетов: $9=8+1$ на одну восьмую больше. Все условия выполнены, а брюнетов $18$ и блондинов $6$ — в $3$ раза больше, как и должно быть.

Компьютерная проверка. Перебраны все составы одного города, где жителей каждого из четырёх видов (блондин-оптимист, блондин-пессимист, брюнет-оптимист, брюнет-пессимист) от $0$ до $40$ — почти три миллиона вариантов. Оба правила выполняются у $68$ непустых составов ( $69$ вместе с пустым городом), и в каждом из них брюнетов ровно втрое больше, чем блондинов, а всего жителей $12$ $24$ $36$ … Отдельным перебором проверен шаг 2: группу можно рассадить по нескольким автобусам одного направления так, чтобы правило выполнялось в каждом, ровно тогда, когда правило верно для всей группы сразу.

Ответ

1 вариант. Брюнетов больше, чем блондинов, в $3$ раза.

2 вариант. Шахов больше, чем царей, в $2$ раза.

Ответ

1 вариант. Брюнетов больше, чем блондинов, в $3$ раза.

2 вариант. Шахов больше, чем царей, в $2$ раза.

Главная идея

В автобусах одного направления за день каждый житель едет ровно один раз, поэтому правило «в каждом автобусе» верно и для всех жителей вместе. Дальше всех жителей считаем двумя способами: блондины + брюнеты = оптимисты + пессимисты. Отсюда треть блондинов равна восьмой части оптимистов; это одна часть, и блондинов $3$ части, а брюнетов $8+1=9$

Признаки: условие сказано про каждую группу отдельно (каждый автобус, каждая строка, каждый день), а вопрос — про всех сразу. Найди, как группы покрывают всех: здесь каждый житель ровно один раз едет в каждую сторону. Тогда равенства для групп складываются в равенство для всех. Если же предметы делятся сразу по двум признакам, сосчитай их двумя способами и приравняй, а доли меряй общей «частью».

Где легко ошибиться

Думать, что ответ зависит от того, как жители рассажены по автобусам, и пытаться перебирать автобусы. Перемножать дроби: $\frac{4}{3}\cdot\frac{9}{8}=\frac{3}{2}$ — это ничего не значит, потому что дроби относятся к разным парам групп. Считать треть от пессимистов, а не от блондинов, или путать «на треть больше» с «в три раза больше». И ещё: найти один подходящий пример и решить, что ответ доказан. Пример показывает только, что такой день бывает; что в любом таком дне брюнетов втрое больше, доказывает рассуждение.

Источник и авторство

Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике · 90-я олимпиада (2024 год) · I тур (районный), 18 ноября 2023 г. · 6 класс, задача 2.

Условия (PDF организатора, первый вариант) ↗ · Листки олимпиады, оба варианта (ZIP организатора) ↗ · Страница олимпиады 2024 года ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие первого варианта — из файла организатора, второй вариант переписан с листка. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Организатор не публикует решений районного тура. Ответы обоих вариантов получены двумя независимыми решениями и совпали; где можно, проверены перебором или вычислением.

На сайте олимпиады: «Распространение представленных материалов разрешается и приветствуется.»

Продолжить тему: Доли, отношения и проценты →

Тема, знания и приёмы

Доли, отношения и проценты · Начальный вход

«На треть больше, чем a» — это a + a/3
Сумма третей равна трети суммы: a/3 + b/3 = a + b/3
Если из двух равных сумм убрать одинаковые слагаемые, оставшиеся тоже равны
Одних и тех же людей можно сосчитать двумя способами — ответ один

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →