Задача 4. Дежурные за столами

Считаем дежурства

Каждый день за $6$ столами дежурят $6$ человек, поэтому за $31$ день набирается

дежурств. Пусть все мальчики отдежурили поровну — каждый по $k$ раз. Тогда мальчики вместе отдежурили $25\cdot k$ раз.

Может ли быть $k = 0$, то есть мальчики не дежурили ни разу? Нет. Девочек $5$, а столов $6$, поэтому каждый день хотя бы за одним столом нет ни одной девочки — там дежурит мальчик. Значит, мальчики дежурили, и $k$ не меньше $1$.

Самый высокий дежурит каждый день

Возьмём самого высокого ученика всего класса. За каким бы столом он ни сидел, он там выше всех, значит, дежурит каждый день — все $31$ раз.

Если это мальчик, то $k = 31$: каждый мальчик дежурил $31$ раз, и мальчики вместе отдежурили

раз. А всех дежурств только $186$. Так не бывает.

Значит, выше всех в классе — девочка, и она дежурит все $31$ день.

Самый низкий мальчик

Теперь возьмём самого низкого из мальчиков. По шагу 1 он хоть раз дежурил. В такой день, кроме него, за его столом сидят ещё $4$ человека, и все они ниже него — ведь дежурит самый высокий. Но все остальные мальчики выше него. Значит, эти $4$ человека — девочки, и они ниже всех мальчиков.

Итак, девочки стоят по росту только так: $4$ девочки ниже всех мальчиков, а пятая — выше всех в классе (рисунок ниже).

Маленькие девочки не дежурят никогда

Возьмём одну из четырёх «маленьких» девочек. Если за её столом есть хоть один мальчик, он выше неё, и дежурит не она. Если мальчиков за столом нет, то за столом $5$ девочек — то есть все пять, и среди них самая высокая в классе. И снова дежурит не маленькая девочка.

Значит, из девочек дежурит только самая высокая — каждый день ровно одна девочка. Остальные $5$ дежурных каждый день — мальчики (рисунок ниже).

Не делится

За $31$ день мальчики отдежурили

раз. С другой стороны, это $25\cdot k$ раз. Но $155$ на $25$ не делится:

Противоречие: как бы ни стояли ученики по росту и как бы их ни рассаживали, поровну мальчики отдежурить не могли.

Ответ: нет, не могло.

Второй вариант

Во втором варианте $6$ мальчиков и $24$ девочки, все с разными датами рождения, поэтому из любых двоих один старше. Каждый день их рассаживают по $6$ человек за $5$ столов, дежурит самый старший за столом, и спрашивают, могли ли девочки отдежурить поровну. Каждый день $5$ дежурных, за $31$ день —

дежурств.

Буквальное прочтение: да. В отличие от первого варианта, мальчиков ($6$) больше, чем столов ($5$), и мальчик может сидеть за каждым столом. Пусть $6$ мальчиков старше всех девочек. Каждый день за первый стол сажаем $2$ мальчиков и $4$ девочки, за остальные четыре — по $1$ мальчику и $5$ девочек. За каждым столом старший — мальчик, поэтому девочки не дежурят ни разу, и через $31$ день все девочки отдежурили поровну — по $0$ раз.

Если каждая девочка дежурила хотя бы раз: нет. Пусть каждая девочка дежурила $k$ раз, $k \ge 1$. Рассуждаем, как в шагах 2–5, поменяв роли мальчиков и девочек.

• Самый старший в классе дежурит все $31$ день. Если это девочка, то $k = 31$, и девочки вместе отдежурили $24\cdot 31 = 744$ раза — больше, чем всех дежурств. Значит, старше всех — мальчик.

• Самая младшая девочка хоть раз дежурила. В тот день $5$ её соседей младше неё, а все остальные девочки старше — значит, это $5$ мальчиков, младше всех девочек. Шестой мальчик — самый старший в классе.

• Маленький мальчик не дежурит никогда: если за его столом есть девочка, она старше него; если девочек нет, за столом все $6$ мальчиков, и среди них самый старший.

Значит, каждый день дежурит ровно один мальчик и ровно $4$ девочки, и за $31$ день девочки отдежурили

раза. Но это $24\cdot k$, а $124$ на $24$ не делится:

Противоречие.

Ответ: при буквальном прочтении — да, могло (все девочки по $0$ раз); если каждая девочка дежурила хотя бы раз — нет, не могло.