Задача 2. Прогулка без разворотов

Назовём точки и дорожки

Обозначим центр парка буквой $O$, а три развилки на окружности — $A$ (внизу), $B$ (справа) и $C$ (слева). Каждые две из этих четырёх точек соединены ровно одной дорожкой, и в каждой точке сходятся три дорожки. Число на месте «?» обозначим $x$. По рисунку Костя прошёл:

• по радиусам: $OA$ — $10$ раз, $OB$ — $15$ раз, $OC$ — $25$ раз;
• по дугам: $BC$ — $10$ раз, $CA$ — $35$ раз, $AB$ — $x$ раз.

Направление не важно: «$CA$ — $35$ раз» значит, что Костя $35$ раз прошёл по дуге между $C$ и $A$ в ту или другую сторону. Каждый раз он проходит дорожку целиком, от одного конца до другого.

Развилка A: дорожке CA нужны пары

Число $x$ стоит у дуги $AB$, а концы этой дуги — развилки $A$ и $B$. Посмотрим, что каждая из них говорит про $x$. Начнём с $A$: там у дуги $CA$ самое большое число на рисунке, $35$, и оно потребует, чтобы $x$ был не слишком маленьким.

Прогулка началась и закончилась в центре $O$. Значит, в точку $A$ Костя каждый раз приходил по какой-то дорожке и уходил по другой — именно по другой, ведь разворачиваться нельзя. Назовём это проходом через $A$: в каждом проходе участвуют две разные дорожки из трёх — $OA$, $AB$, $CA$.

Возьмём дорожку $CA$. Каждый раз, когда Костя идёт по ней, один конец его пути — точка $A$. Там он либо пришёл по $CA$ и ушёл по $OA$ или $AB$, либо пришёл по $OA$ или $AB$ и ушёл по $CA$. В любом случае в этом проходе через $A$ вместе с $CA$ участвует $OA$ или $AB$: этот раз по $OA$ или $AB$ назовём парой для раза по $CA$.

В одном проходе через $A$ две разные дорожки, поэтому $CA$ в нём одна, и пара у неё одна. А каждый раз по $OA$ или $AB$ касается точки $A$ только одним концом, то есть попадает только в один проход через $A$. Поэтому каждый из $35$ раз, когда Костя шёл по $CA$, получает свою пару, и двум разным разам не достаётся одна и та же. Значит, по $OA$ и $AB$ вместе Костя прошёл не меньше $35$ раз:

Развилка B: дорожке AB тоже нужны пары

Теперь второй конец дуги $AB$ — развилка $B$. Здесь самым большим может оказаться само $x$, и эта развилка не даст ему быть слишком большим.

В точке $B$ сходятся $OB$ ($15$ раз), $BC$ ($10$ раз) и $AB$ ($x$ раз). Рассуждаем так же, как в шаге 2, только теперь про дугу $AB$: каждый раз, когда Костя идёт по ней, один конец его пути — точка $B$, и в этом проходе через $B$ вместе с $AB$ участвует $OB$ или $BC$. Как и там, разным разам по $AB$ достаются разные пары. Значит, по $OB$ и $BC$ вместе Костя прошёл не меньше $x$ раз:

Из шагов 2 и 3 получаем $x = 25$. Любое другое число невозможно: если $x < 25$, дорожке $CA$ не хватит пар в точке $A$; если $x > 25$, дорожке $AB$ не хватит пар в точке $B$.

Такая прогулка действительно бывает

Оценки показали, что другие числа невозможны. Осталось убедиться, что с числом $25$ прогулка правда есть. Соберём её из трёх кругов (по окружности Костя всегда идёт по часовой стрелке):

• оранжевый круг $O \to A \to C \to O$ — $10$ раз;
• синий круг $O \to B \to A \to C \to O$ — $15$ раз;
• зелёный круг — вся окружность $B \to A \to C \to B$ — $10$ раз.

Зелёный круг начинается и кончается не в центре, а в $B$, поэтому вставим его внутрь синего. Костя проходит $10$ оранжевых кругов. Потом идёт по первому синему кругу и, впервые придя в $B$, $10$ раз обходит зелёный круг, а затем продолжает синий: $B \to A \to C \to O$. Потом проходит ещё $14$ синих кругов. Прогулка начинается и кончается в $O$.

Посчитаем, сколько раз пройдена каждая дорожка: $OA$ — $10$ (оранжевые круги); $OB$ — $15$ (синие); $OC$ — $10 + 15 = 25$; $BC$ — $10$ (зелёные); $AB$ — $15 + 10 = 25$; $CA$ — $10 + 15 + 10 = 35$. Всё как на рисунке.

Разворотов нет: в $A$ Костя приходит по $OA$ или $AB$ и уходит по $CA$; в $B$ приходит по $OB$ или $BC$ и уходит по $AB$; в $C$ приходит по $CA$ и уходит по $OC$ или $BC$; в $O$ приходит по $OC$ и уходит по $OA$ или $OB$. Ни разу он не уходит по той дорожке, по которой пришёл. Значит, на месте вопросительного знака стоит $25$.

Второй вариант

Рисунок тот же, числа другие. С теми же буквами: $OA$ — $10$, $OB$ — $25$, $OC$ — $15$, $BC$ — $15$, $AB$ — $40$, а «?» стоит на левой дуге $CA$; обозначим это число $y$. Неизвестная дуга $CA$ кончается в точках $C$ и $A$, а самое большое известное число, $40$, стоит у дуги $AB$, которая тоже приходит в $A$. Поэтому оценки берём в точках $A$ и $C$.

Как в шагах 2–3: $A$ и $C$ — не начало и не конец прогулки, а разворачиваться нельзя, поэтому каждый проход через $A$ или $C$ — это две разные дорожки. Каждый раз, когда Надя идёт по $AB$, в точке $A$ она переходит с $AB$ на $OA$ или $CA$ — или с них на $AB$. Этот раз по $OA$ или $CA$ — пара для раза по $AB$; у каждой дорожки один конец в $A$, поэтому разным разам по $AB$ достаются разные пары. Значит, $10 + y \ge 40$, то есть $y \ge 30$. Так же в точке $C$: каждый раз по $CA$ получает свою пару — раз по $OC$ или $BC$, поэтому $y \le 15 + 15 = 30$. Значит, $y = 30$.

Пример из трёх кругов (теперь по окружности Надя всегда идёт против часовой стрелки): $10$ раз круг $O \to A \to B \to O$; $15$ раз круг $O \to C \to A \to B \to O$; $15$ раз вся окружность $C \to A \to B \to C$ — эти обходы вставлены в первый круг $O \to C \to A \to B \to O$, когда Надя впервые пришла в $C$. Получается $OA$ — $10$, $OB$ — $10 + 15 = 25$, $OC$ — $15$, $BC$ — $15$, $AB$ — $10 + 15 + 15 = 40$, $CA$ — $15 + 15 = 30$. В $A$ Надя приходит по $OA$ или $CA$ и уходит по $AB$, в $B$ приходит по $AB$ и уходит по $OB$ или $BC$, в $C$ приходит по $OC$ или $BC$ и уходит по $CA$, в $O$ приходит по $OB$ и уходит по $OA$ или $OC$ — разворотов нет.