Задача 1. Слагаемые наоборот

Десятки и единицы всех слагаемых

Двузначное число состоит из десятков и единиц: например, $24 = 2\cdot 10 + 4$ — это $2$ десятка и $4$ единицы.

Пусть $100$ записали в виде суммы нескольких таких чисел. Сложим отдельно цифры десятков всех слагаемых — получится число, которое обозначим буквой $Д$. Сложим отдельно цифры единиц — получится число $Е$. Всего в слагаемых $Д$ десятков и $Е$ единиц, а вместе это $100$:

Например, $100 = 23 + 35 + 42$: цифры десятков дают $Д = 2 + 3 + 4 = 9$, цифры единиц — $Е = 3 + 5 + 2 = 10$, и правда $10\cdot 9 + 10 = 100$.

Перестановка меняет разряды местами

Когда в числе $24$ меняют цифры местами, получается $42$: цифра $2$ переходит из разряда десятков в разряд единиц, а цифра $4$ — из разряда единиц в разряд десятков. Так происходит в каждом слагаемом. Все числа после перестановки снова двузначные: ни одно слагаемое не оканчивалось нулём.

Значит, после перестановки цифры десятков всех новых чисел в сумме дают $Е$, а цифры единиц дают $Д$. Новая сумма — это $Е$ десятков и $Д$ единиц:

В примере $32 + 53 + 24 = 109 = 10\cdot 10 + 9$ (рисунок ниже). Новая сумма зависит не от того, какие именно взяты слагаемые, а только от $Д$ и $Е$.

Новая сумма зависит только от десятков

Числа $Д$ и $Е$ связаны: $Е = 100 - 10\cdot Д$. Посчитаем $Е$ и новую сумму $10\cdot Е + Д$ для разных $Д$:

Каждый лишний десяток в слагаемых отнимает $10$ единиц, а в новой сумме эти $10$ единиц были бы $10$ десятками, то есть $100$; сам десяток добавляет к новой сумме только $1$. Поэтому, когда $Д$ увеличивается на $1$, новая сумма уменьшается на $100 - 1 = 99$. При $Д$ меньше $5$ она была бы ещё больше, чем $505$.

Вывод: новая сумма больше $400$ только тогда, когда $Д$ не больше $6$. Десятков в слагаемых должно быть мало, а единиц — много.

Сколько единиц поместится

Можно ли сделать десятков совсем мало, например $Д = 5$? Тогда единиц нужно $Е = 50$. Проверим, поместится ли столько.

Пусть слагаемых $k$. У каждого цифра десятков не меньше $1$ — число двузначное, поэтому $Д \ge k$. У каждого цифра единиц не больше $9$, поэтому $Е \le 9\cdot k$. Вместе:

Единиц не больше чем в $9$ раз больше, чем десятков. При $Д = 5$ это $50 \le 45$ — неверно. При меньших $Д$ единиц нужно ещё больше, а помещается ещё меньше. Коротко это можно записать так:

а $19\cdot 5 = 95 < 100$. Значит, $Д \ge 6$.

Вместе с шагом 3: новая сумма больше $400$, только если $Д = 6$ и $Е = 40$, и тогда она ровно $406$ — больше не бывает. Слагаемых при этом не больше $6$ (ведь $k \le Д$) и не меньше $5$ (ведь $9\cdot 4 = 36 < 40$).

Строим пример

Нужно $5$ или $6$ слагаемых, у которых цифры десятков в сумме дают $6$, а цифры единиц — $40$. Возьмём $5$ слагаемых. Цифры десятков: $1, 1, 1, 1, 2$ — их сумма $6$. Цифры единиц сделаем как можно больше: $9, 9, 9, 9$ и ещё $4$, их сумма $40$. Получаем

Все слагаемые двузначные и не делятся на $10$. Меняем в каждом цифры местами:

и $406 > 400$.

Ответ: да, может.

А если слагаемые должны быть разными?

В примере число $19$ взято четыре раза. Условие это разрешает: в нём сказано «в виде суммы нескольких двузначных чисел», а не «нескольких различных чисел». Когда слагаемые должны быть разными, в олимпиадных задачах это говорят прямо; без такого слова одинаковые слагаемые допустимы, как в записи $100 = 50 + 50$. Это естественное прочтение условия, и ответ на вопрос задачи — «да». Косвенно его подтверждает и порог: $400$ стоит чуть ниже наибольшей возможной суммы $406$.

Но если всё-таки потребовать, чтобы все слагаемые были разными, ответ изменится. По шагам 3 и 4 всё равно нужны $Д = 6$, $Е = 40$ и $5$ или $6$ слагаемых.

• Шесть слагаемых: все шесть цифр десятков равны $1$ (иначе их сумма больше $6$), то есть это числа от $11$ до $19$ с разными цифрами единиц, и $Е \le 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$.

• Пять слагаемых: пять цифр десятков, каждая не меньше $1$, в сумме дают $6$. Будь все они равны $1$, сумма была бы $5$; оставшаяся $1$ добавляется к одной из цифр. Значит, четыре цифры десятков равны $1$, а одна равна $2$. У четырёх разных чисел от $11$ до $19$ единиц не больше $9 + 8 + 7 + 6 = 30$, у пятого числа — не больше $9$, всего $Е \le 39$.

В обоих случаях $Е < 40$. Значит, при разных слагаемых $Д \ge 7$, и новая сумма не больше $307$ — например, $11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 19 = 100$ даёт ровно $307$. Больше $400$ тогда не получится.

Второй вариант

Во втором варианте число $105$ и порог $450$. Рассуждение то же: теперь $10\cdot Д + Е = 105$, а новая сумма равна $10\cdot Е + Д$, и с каждым следующим $Д$ она снова уменьшается на $99$:

Больше $450$ — только при $Д \le 6$. Оценка та же: $105 = 10\cdot Д + Е \le 19\cdot Д$, а $19\cdot 5 = 95 < 105$, поэтому $Д \ge 6$. Значит, нужны $Д = 6$ и $Е = 45$, и слагаемых $5$ или $6$: не больше $Д = 6$ и не меньше $5$, ведь $9\cdot 4 = 36 < 45$. При пяти слагаемых все цифры единиц равны $9$, а цифры десятков — $1, 1, 1, 1, 2$:

после перестановки

и $456 > 450$.

Ответ: да, может. Слагаемые здесь тоже повторяются. Если требовать разные слагаемые, то, как в шаге 6, единиц набирается не больше $39 < 45$, и новая сумма не больше $357$.