Задача 3. Верёвка Медведя

Сколько верёвки лишнее

Сложим длины всех кусков:

Верёвка длиной $150$ см, значит, лишнего всего $150 - 148 = 2$ см (рисунок ниже).

Маша делает один разрез — получаются две части. Каждый кусок Медведь вырезает целиком из одной части: склеить кусок из двух обрывков нельзя. Из одной части можно вырезать несколько кусков подряд, один за другим, — если их общая длина не больше длины части.

Значит, Медведю нужно разделить восемь кусков на две группы: одна должна поместиться в первую часть, другая — во вторую. На обрезки уйдут те самые лишние $2$ см. Маше нужно разрезать верёвку так, чтобы ни одна такая раскладка не подходила.

Маленькие и большие куски

Посмотрим на длины кусков. Пять маленьких — $1, 2, 3, 5$ и $12$ см — вместе занимают

а три больших — $26, 39$ и $60$ см — вместе

Пусть одна часть верёвки — назовём её короткой — окажется короче $26$ см. Тогда в неё не влезет ни один большой кусок, и все три больших куска придётся вырезать из другой, длинной части. Им там нужно $125$ см. Если длинная часть короче $125$ см, Медведь не справится.

Итак, Маше выгодно, чтобы короткая часть была короче $26$ см, а длинная — короче $125$ см.

Где резать

Длинная часть — это вся верёвка без короткой. Она короче $125$ см, когда короткая часть длиннее $150 - 125 = 25$ см. Вместе с шагом 2: чтобы наш план сработал, короткая часть должна быть длиннее $25$ см, но короче $26$ см.

Целых чисел между $25$ и $26$ нет — вот зачем в условии сказано «не обязательно целой длины». Соседние целые разрезы не годятся:

• части $25$ и $125$ см: в короткую часть влезают все маленькие куски ($23$ см), а в длинную — три больших ($125$ см), ровно впритык;

• части $26$ и $124$ см: в короткую часть влезает кусок $26$ см, а остальные куски, вместе $148 - 26 = 122$ см, — в длинную.

Разрез на 25,5 и 124,5 см

Пусть Маша разрежет верёвку на части $25{,}5$ см и $124{,}5$ см. Проверим, что Медведь не справится, как бы он ни раскладывал куски.

Каждый из кусков $26$, $39$ и $60$ см длиннее $25{,}5$ см, поэтому из короткой части его не вырезать. Значит, все три больших куска придётся вырезать из длинной части. Но им вместе нужно

Даже без маленьких кусков в длинной части не хватает $0{,}5$ см (рисунок ниже). Медведь не сможет вырезать все восемь кусков.

Ответ: да, сможет — например, разрезать верёвку на части $25{,}5$ см и $124{,}5$ см.

Второй вариант

Во втором варианте верёвка длиной $160$ см, а куски — $1, 2, 2, 6, 13, 27, 41$ и $66$ см. Вместе они занимают $158$ см, лишнего снова $2$ см. Маленькие куски вместе дают $1 + 2 + 2 + 6 + 13 = 24$ см, большие — $27 + 41 + 66 = 134$ см.

Рассуждение то же. Короткая часть должна быть короче $27$ см — тогда большие куски в неё не влезут, — и длиннее $160 - 134 = 26$ см — тогда длинная часть окажется короче $134$ см. Например, части $26{,}5$ см и $133{,}5$ см: куски $27$, $41$ и $66$ см длиннее $26{,}5$ см, их придётся вырезать из длинной части, а им нужно

Соседние целые разрезы снова не годятся: при частях $26$ и $134$ см в короткую влезают все маленькие куски ($24$ см), а в длинную — ровно три больших; при частях $27$ и $133$ см в короткую влезает кусок $27$ см, а остальные $131$ см — в длинную.

Ответ: да, сможет — например, разрезать верёвку на части $26{,}5$ см и $133{,}5$ см.