Матпраздник 2021 год · учебный сезон 2020/21 · Математика · 7 кл., №5

Условие

Дан правильный треугольник $ABC$ На стороне $AB$ отмечена точка $K$ на стороне $BC$ — точки $L$ и $M$ ( $L$ лежит на отрезке $BM$ ) так, что $KL=KM$ $BL=2$ $AK=3$ Найдите $CM$

Рисунок к условию

О задаче · 7 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2021 (учебный сезон 2020/21)
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Вариант: Классический

Сторона треугольника не дана. Как ты думаешь, может ли $CM$ от неё не зависеть? В модели «Правильный треугольник и равные отрезки» меняй сторону и следи за $CM$ Запиши, что получается.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПравильный треугольник и равные отрезки

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Правильный треугольник и равные отрезки

Сторона треугольника не дана. Меняй её — модель перестроит точки K, L, M по условию и посчитает CM.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Начерти два правильных треугольника разного размера, отметь AK = 3 и BL = 2, построй M циркулем (KM = KL) и измерь CM.

Подсказка 1

$KL=KM$ — значит, треугольник $KLM$ равнобедренный. Где его высота из $K$ встречает $LM$

Подсказка 2

Проведи высоту $KH$ В прямоугольном треугольнике $KBH$ угол $B$ равен $60^\circ$ поэтому $BH$ — половина $BK$ Обозначь $LH=HM=x$ и вырази все отрезки через $x$

Разобрать решение по шагам

Высота равнобедренного треугольника

Треугольник $KLM$ равнобедренный ( $KL=KM$ ). Проведём его высоту $KH$ к основанию $LM$ она же медиана, поэтому $LH=HM$ Обозначим $LH=HM=x$ Тогда $BH=2+x$ $BM=2+2x$

Угол 60°

В прямоугольном треугольнике $KBH$ угол $B$ равен $60^\circ$ (угол правильного треугольника), значит, угол $BKH$ равен $30^\circ$ Катет против угла $30^\circ$ — половина гипотенузы:

BK=2\cdot BH=4+2x.

Сторона и ответ

Сторона треугольника

BA=BK+KA=4+2x+3=7+2x.

Треугольник правильный, поэтому $BC=7+2x$ и

CM=BC-BM=(7+2x)-(2+2x)=5.

Неизвестное $x$ сократилось — ответ не зависит от размера треугольника.

Высота KH делит LM пополам; BK = 2·BH, поэтому CM = 5.

Проверка

Проверим вычислением. Компьютер построил треугольник по координатам для разных сторон — от $7{,}5$ до $16$ с шагом $0{,}5$ — и каждый раз проверил: $AK=3$ $BL=2$ $KL=KM$ точка $M$ на стороне $BC$ за $L$ Длина $CM$ всегда равна $5$ Другое решение (организатора): отложить на $BC$ точку $T$ с $MT=2$ — треугольник $KBT$ окажется равносторонним, и $CT=AK=3$ это построение тоже есть в модели.

Ответ

$CM=5$

Ответ

$CM=5$

Главная идея

Высота $KH$ равнобедренного треугольника $KLM$ делит $LM$ пополам, а в треугольнике $KBH$ с углом $60^\circ$ гипотенуза $BK$ вдвое больше $BH$ Через $x=LH$ выражаются и сторона $7+2x$ и $BM=2+2x$ разность — $5$

Признак: в правильном треугольнике равнобедренный треугольник с вершиной на стороне. Проводи высоту и используй «катет против $30^\circ$ — половина гипотенузы».

Где легко ошибиться

Считать, что без стороны треугольника задачу не решить, или подставить «удобную» сторону и не объяснить, почему ответ не зависит от неё.

Источник и авторство

Математический праздник 2021 года · классический вариант · 7 класс, задача 5 [7 баллов] · автор задачи Е. В. Бакаев.

Условия 2021 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 7 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника, рисунок перерисован по оригиналу. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Ответ совпадает с ответом в решениях организатора (book.pdf 2021).

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Начальный вход

Высота равнобедренного треугольника — медиана
Катет против угла 30^circ равен половине гипотенузы
Углы правильного треугольника

Приёмы решения: Дополнительное построение · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →