Матпраздник 2021 год · учебный сезон 2020/21 · Математика · 7 кл., №1

Условие

Будем называть *флажком* пятиугольник, вершины которого — вершины некоторого квадрата и его центр. Разрежьте фигуру ниже справа на флажки (не обязательно одинаковые).

Рисунок к условию

О задаче · 7 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2021 (учебный сезон 2020/21)
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Вариант: Классический

Какой площади бывают флажки? Флажок — это три четверти квадрата. Попробуй раскрасить фигуру в модели «Флажки»: каждый цвет — отдельный флажок, а модель проверит, получился ли флажок.

Ответ — рисунок разрезания. Проверь у каждого куска: четыре вершины образуют квадрат, а пятая — его центр.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеФлажки

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Флажки

Раскрась фигуру: один цвет — один кусок. Модель проверит, является ли каждый кусок флажком.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Перерисуй фигуру на клетчатую бумагу, проведи в клетках диагонали и раскрашивай треугольнички — каждый флажок своим цветом.

Подсказка 1

Посмотри на квадраты $2\times 2$ торчащие из фигуры. Флажок из такого квадрата — это квадрат без треугольника, вырезанного до центра. Куда удобнее направить вырез?

Подсказка 2

Направь вырезы четырёх больших флажков к середине фигуры. Что останется в середине? Это можно разрезать на маленькие флажки — квадраты, повёрнутые на $45^\circ$

Разобрать решение по шагам

Какие бывают флажки

Флажок — это квадрат, из которого вырезан треугольник: две соседние вершины квадрата и его центр. Площадь флажка — три четверти площади квадрата. Например, флажок из квадрата $2\times 2$ имеет площадь $3$ клетки, а из квадрата со стороной $\sqrt{2}$ (повёрнутого на $45^\circ$ с вершинами в серединах сторон клеточки $2\times 2$ ) — $1{,}5$ клетки.

Четыре больших флажка

Фигура похожа на вертушку: из неё торчат четыре квадрата $2\times 2$ (слева, сверху, справа и снизу — каждый частично заходит в середину). Сделаем из каждого торчащего квадрата флажок, направив вырез к середине фигуры. Четыре флажка по $3$ клетки — это $12$ клеток.

Середина

Осталось $18-12=6$ клеток в середине — это фигура, у которой края зазубрены вырезами больших флажков. Её режем на четыре маленьких флажка по $1{,}5$ клетки: каждый — квадрат, повёрнутый на $45^\circ$ с вырезом до центра. Вырезы маленьких флажков «вставлены» друг в друга по кругу, как лопасти вертушки. $4\cdot 1{,}5=6$ — всё сходится.

Восемь флажков: четыре больших (синие) с вырезами к центру и четыре маленьких в середине.

Проверка

Проверим перебором. Компьютер перебрал все флажки с вершинами в узлах сетки и центрах клеток (из квадратов $2\times 2$ $4\times 4$ и повёрнутых на $45^\circ$ ), которые помещаются в фигуру, и нашёл все разрезания на них. Меньше чем на $8$ флажков разрезать нельзя; разрезание из разбора проходит проверку: каждый кусок — квадрат без четвертинки, вырезанной до центра.

Ответ

Например: четыре больших флажка из квадратов $2\times 2$ в «лопастях» фигуры с вырезами к центру и четыре маленьких флажка (повёрнутые квадраты) в середине — см. рисунок.

Ответ

Главная идея

Торчащие квадраты $2\times 2$ превращаем во флажки, направив вырезы к середине. Оставшаяся середина площадью $6$ режется на четыре маленьких повёрнутых флажка по $1{,}5$ клетки.

Признак: разрезать фигуру на заданные куски. Начни с «торчащих» частей — там меньше всего вариантов, — и посмотри, что остаётся.

Где легко ошибиться

Резать только по линиям сетки: флажки с вырезом до центра требуют диагональных разрезов. Другая ошибка — считать флажком любой пятиугольник: пятая вершина должна быть ровно в центре квадрата.

Источник и авторство

Математический праздник 2021 года · классический вариант · 7 класс, задача 1 [3 балла] · автор задачи М. А. Волчкевич, Т. В. Казицына.

Условия 2021 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 7 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника, рисунок перерисован по оригиналу. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Разрезание совпадает с ответом организатора (book.pdf 2021).

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Нужна школьная база

Квадрат и его центр
Площадь на клетчатой бумаге

Приёмы решения: Разделение пространства поиска · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →