Задача 4. Куб и деление

Меняем запись, сохраняя правила

Для примера существования можно выбрать числа удобного вида. Возьмём степени тройки $3^m$. Тогда $(3^m)^3=3^{3m}$: при возведении числа в куб показатель утраивается. При делении на $3$ показатель уменьшается на $1$. Если показатель положителен, деление даёт целое число.

Ищем набор, который сдвигается по кругу

Рассмотрим подряд идущие показатели от $m$ до $3m$. Их $2m+1$. Утроим наименьший: $m$ превратится в $3m$. Остальные $m+1,\ldots,3m$ уменьшим на единицу — получатся $m,\ldots,3m-1$. В итоге тот же набор, но бывший первый элемент перешёл в конец. На малом примере $2,3,4,5,6$ это особенно легко проверить.

Подбираем число досок

Нам нужно $2m+1=2025$, откуда $m=1012$. Значит, напишем на досках

Показателей ровно $3036-1012+1=2025$. На каждом шаге выбираем доску с наименьшим показателем и возводим её число в куб. На всех остальных досках делим числа на три.

Возвращение именно на свою доску

Проверим доску с номером $i$, где $1\le i\le2025$. Её начальный показатель — $1011+i$. До её хода сделано $i-1$ делений, поэтому показатель стал $1011+i-(i-1)=1012$. Куб даёт $3036$. После этого останется $2025-i$ делений, и итоговый показатель равен

Получилось исходное значение на той же доске. Так верны все 2025 возвращений, а не только возвращение набора чисел.

Все операции разрешены

Перед каждым шагом набор показателей снова состоит из чисел $1012,\ldots,3036$. Поэтому показатели всех делимых чисел положительны и после уменьшения остаются неотрицательными. Ни одно деление не создаёт дробь. После 2025 шагов каждая доска вернулась к своему исходному числу.