Popov AcademyУсловие
В каждой из 600 коробок лежит либо 5, либо 18, либо 22 шарика, причём все три типа присутствуют. Докажите, что можно выбрать несколько коробок, в которых суммарно ровно 2025 шариков.
О задаче · 8 класс
Придумай допустимый запас трёх видов коробок и попробуй выбрать из него ровно 2025 шариков. Запиши, что удалось и где возникла трудность.
Здесь нужен обоснованный словесный вывод. Запиши свою гипотезу и доводы до открытия подсказок.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Исследуй задачу
Самостоятельное исследованиеСобери нужную сумму
Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.
Своя гипотеза
Собери нужную сумму
Задай запас коробок каждого вида, всего 600 и не меньше одной каждого вида. Выбери свои количества и проверь сумму и наличие коробок.
Составь таблицу: запас каждого вида и сколько берёшь. Проверь обе вещи: сумму 2025 и достаточность запаса.
Подсказка 1
Подбери несколько способов получить 2025 так, чтобы каждый требовал много коробок лишь одного вида, а остальных — совсем мало.
Подсказка 2
Возьми по одной коробке двух видов и вычисли, сколько ещё шариков нужно добрать коробками третьего. Попробуй это для каждого вида. Что можно сказать о запасе третьего вида, если двух других мало?
Разобрать решение по шагам
Ищем три запасных конструкции
Трудность в том, что количества коробок неизвестны. Поэтому один удачный набор ещё не доказывает утверждение. Подготовим три набора: в каждом будем брать много коробок одного размера и всего по одной двух других. Последнее всегда возможно: все три вида присутствуют.
Если хватает коробок по 18
При наличии хотя бы таких коробок берём их и по одной коробке с и шариками. Получаем
Если хватает коробок по 22
При наличии хотя бы такой коробки берём их и по одной с и шариками:
Если оба этих случая доступны, достаточно любого одного.
Если обе конструкции недоступны
Тогда коробок по не больше , а по — не больше . Всего коробок , поэтому с пятью шариками их не меньше
Нам хватит даже таких коробок и по одной двух других:
Все варианты количеств охвачены: либо сработала одна из первых двух конструкций, либо обязательно работает третья.
Проверка
Все три суммы вычислены отдельно. При недоступности первых двух конструкций остаётся не менее 400 коробок по 5, что больше необходимых 397.
Да, при любом допустимом наборе 600 коробок можно выбрать коробки с суммой ровно 2025 шариков.
Ответ
Да, при любом допустимом наборе 600 коробок можно выбрать коробки с суммой ровно 2025 шариков.
Главная идея
Набор неизвестен — подготовь несколько конструкций и докажи, что хотя бы одной обязательно хватит материала.
Набор неизвестен — подготовь несколько конструкций и докажи, что хотя бы одной обязательно хватит материала.
Где легко ошибиться
Показать пример для 200 коробок каждого вида и принять его за доказательство для любого распределения.
Источник и авторство
Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · дистанционный этап, i тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 2, 7 баллов.
Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗
Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.
Тема, знания и приёмы
Делимость и простые множители · Начальный вход
- Подсчёт общего количества
- Разбор случаев
Приёмы решения: Принцип Дирихле или худший случай · Разбор случаев