Задача 3. Четыре равные площади

Что уже даёт центр

Обозначим центр через $O$, половины сторон прямоугольника — через $a,b$. Вся площадь равна $4ab$, значит каждая часть должна иметь площадь $ab$. Центральная симметрия совмещает противоположные части; остаётся проверить равенство соседних. Рассмотрим, на какие стороны выходят соседние лучи.

Если два луча выходят на одну сторону

Пусть они пересекли сторону $UV$ в точках $P,Q$. Тогда одна из частей — треугольник $OPQ$. Его высота к стороне $UV$ такая же, как у $OUV$, а площадь $OUV$ равна четверти прямоугольника. Поэтому $OPQ$ имеет нужную площадь только при $PQ=UV$, то есть $P,Q$ — обе вершины этой стороны. Наши прямые тогда совпадают с диагоналями. Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, четыре треугольника у $O$ прямоугольные; соседние из них равны по двум катетам — половинам равных диагоналей. Их гипотенузы, стороны прямоугольника, равны. Это квадрат.

Остаются соседние стороны

Иначе каждая прямая выходит на свою пару противоположных сторон. Назовём верхнюю правую вершину $B$, середины верхней и правой сторон — $M,N$. Можно отразить рисунок так, чтобы точка $P$ на верхней стороне была слева от $M$, а точка $Q$ на правой — выше $N$. Положим $OM=b$, $ON=a$, $MP=p$, $NQ=q$. Числа $p,q$ положительны: нуль означал бы прямые, параллельные сторонам, что запрещено.

Перпендикулярность связывает смещения

Прямоугольные треугольники $OMP$ и $ONQ$ подобны. Действительно, один острый угол первого равен острому углу второго: их стороны попарно перпендикулярны, $OM\perp ON$ и $OP\perp OQ$. Поэтому отношения соответствующих катетов равны:

Это геометрическое следствие условия о прямом угле.

Равенство площадей даёт вторую связь

Часть $OPBQ$ состоит из треугольников $OPB$ и $OBQ$. Для первого основание $PB=a+p$, высота $b$; для второго основание $BQ=b-q$, высота $a$. Поэтому её площадь

Она должна равняться $ab$, значит $bp=aq$. Вместе с $ap=bq$ получаем, разделив одно равенство на другое, $a/b=b/a$. Следовательно, $a^2=b^2$ и $a=b$, ведь длины положительны. И в этом случае прямоугольник — квадрат.