Эйлер 2025/26 · Математика · 8 кл., №1 — решение

Условие

Из Ёлкино в Палкино с одинаковой скоростью и равными интервалами едут грузовики, другой транспорт там не ездит. Петя и Вася вышли из Палкина в разное время и шли прямо по дороге в Ёлкино с постоянными скоростями. Петя по дороге из Палкина в Ёлкино встретил 10 грузовиков, а Вася — 9 грузовиков. Мог ли Петя идти быстрее Васи?

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Дистанционный этап, I тур
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: дата тура не указана в файле заданий

Нарисуй дорогу и придумай, как могли двигаться оба мальчика и грузовики. Запиши свою догадку: возможно ли описанное в условии?

Здесь нужен обоснованный словесный вывод. Запиши свою гипотезу и доводы до открытия подсказок.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеВремя выхода и встречи

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Время выхода и встречи

Дорога 8 км, грузовики 60 км/ч и выезды каждые 10 мин. Задай время выхода и время пути каждого мальчика. Сравни число встреч и скорости; полосы ниже показывают движение по дороге.

Без модели нарисуй дорогу длиной 8 км. Грузовики проходят её за 8 минут и выезжают каждые 10 минут. Выбери для каждого мальчика момент выхода и длительность пути; отметь встречи на своей схеме.

Подсказка 1

Число встреч зависит не только от скорости пешехода. Где находится ближайший грузовик в момент его выхода?

Подсказка 2

Попробуй устроить Пете встречу сразу после выхода и ещё одну перед приходом, а Васе — длинные свободные промежутки у обоих концов пути. Затем обязательно сравни полное время в дороге.

Разобрать решение по шагам

Достаточно одного точного примера

Спрашивается, мог ли Петя идти быстрее. Поэтому не нужно восстанавливать неизвестные скорости: достаточно построить один случай, который удовлетворяет всем условиям. Чтобы сравнивать скорости на одной дороге, сравним время в пути: меньшее время означает большую скорость.

Задаём дорогу и поток грузовиков

Пусть расстояние между посёлками равно $8$ км. Грузовики едут со скоростью $60$ км/ч, то есть $1$ км/мин, и выезжают из Ёлкина каждые $10$ минут: в моменты $\ldots,-10,0,10,20,\ldots$ Каждый доезжает до Палкина за $8$ минут. Отрицательное время лишь означает выезд до выбранного нуля отсчёта.

Задаём два выхода

Петя выходит из Палкина через $7{,}5$ минуты после нуля отсчёта и идёт $85$ минут: приходит в $92{,}5$ Вася выходит в момент $9$ и идёт $86$ минут: приходит в $95$ При постоянной скорости на одинаковом пути $85<86$ означает, что Петя быстрее. Это обычная ходьба: скорости примерно $5{,}65$ и $5{,}58$ км/ч, гораздо меньше скорости грузовиков.

Считаем именно встреченные грузовики

Пусть мальчик выходит в момент $s$ и идёт $T$ минут. Грузовик, выехавший в момент $u$ уже не встретится с ним, если прибыл в Палкино раньше выхода: $u+8<s$ Не встретится и грузовик, выехавший после прихода мальчика в Ёлкино: $u>s+T$ Все остальные обязательно встретятся с пешеходом, поскольку движутся навстречу. Поэтому нужно посчитать моменты выезда, кратные $10$ в отрезке $[s-8; s+T]$ Встречи на концах дороги включаем, как уточнено организатором.

Проверяем оба числа

Для Пети получаем $[-0{,}5;92{,}5]$ сюда попадают $0,10,\ldots,90$ — десять выездов. Для Васи получаем $[1;95]$ подходят $10,20,\ldots,90$ — девять выездов. Ни одна граница не кратна десяти, поэтому встречи происходят строго внутри дороги. Условие выполнено, хотя Петя прошёл дорогу быстрее.

Проверка

Петя: 85 мин, выход 7,5 мин,10 встреч; Вася: 86 мин, выход 9 мин,9 встреч. Грузовики проходят 8 км за 8 мин с интервалом выезда 10 мин. Все встречи внутри дороги; пешеходы медленнее грузовиков.

Ответ

Да, Петя мог идти быстрее Васи.

Ответ

Да, Петя мог идти быстрее Васи.

Главная идея

При подсчёте дискретных встреч важна начальная фаза потока: у более короткого пути по времени иногда бывает на одну встречу больше.

Где легко ошибиться

Делить число встреч на время и считать полученное точной частотой потока. В начале и в конце пути могут оставаться неполные промежутки между встречами.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · дистанционный этап, i тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 1, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Начальный вход

Скорость равна пути, делённому на время
Подсчёт целых чисел на отрезке

Приёмы решения: Контрпример

Задать вопрос по задаче →