Задача 4. Три бегуна на кольце

Обгон — это отрыв ровно в один круг

Все трое стартовали одновременно из одной точки и бегут в одну сторону. Петя быстрее Васи, иначе он не обогнал бы его. После старта Петя уходит вперёд. Чтобы снова догнать Васю на дорожке и обогнать его на круг, Пете нужно пробежать ровно на один полный круг больше. Первое такое совпадение на дорожке после старта — первый обгон.

По условию в момент первого обгона Петя пробежал $D$ кругов, где $3 < D < 4$. Тогда Вася пробежал на круг меньше: $D - 1$ кругов, то есть больше $2$, но меньше $3$ (рисунок ниже).

Зачем это нужно: слова «обогнал на четвёртом круге» превратились в точные числа — сколько кругов пробежал каждый в один и тот же момент. Так же разберём и обгон Коли: Петя пробежал $D'$ кругов, где $6 < D' < 7$, а Коля — $D' - 1$.

Вася медленнее трёх четвертей Пети

Скорости постоянны, поэтому за одно и то же время пути относятся как скорости. Обозначим скорости Пети, Васи и Коли через $p$, $v$ и $k$. В момент обгона Петя пробежал $D$ кругов, Вася — $D - 1$, значит

Так как $D < 4$, дробь $\frac{1}{D}$ больше $\frac{1}{4}$, и поэтому $\frac{v}{p} < 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Итак, $v < \frac{3}{4}p$.

Как это заметить без формулы: если бы Петя догнал Васю ровно в конце своего четвёртого круга, Вася пробежал бы ровно $3$ круга и его скорость была бы ровно $\frac{3}{4}$ скорости Пети. Но Петя догнал Васю раньше — значит, Вася отстаёт сильнее, и его скорость меньше $\frac{3}{4}p$. Ровно $\frac{3}{4}$ быть не может: тогда обгон случился бы на финише четвёртого круга, а по условию четвёртый круг ещё не закончен.

Та же формула даёт и вторую границу: из $D > 3$ следует $\frac{v}{p} > 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Для доказательства она не понадобится, но в модели видно, что скорость Васи лежит между $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$ скорости Пети.

Коля быстрее пяти шестых Пети

Повторим то же рассуждение для Коли. В момент, когда Петя впервые обогнал Колю, Петя пробежал $D'$ кругов, $6 < D' < 7$, а Коля — $D' - 1$. Поэтому

Теперь нам нужна оценка снизу. Так как $D' > 6$, дробь $\frac{1}{D'}$ меньше $\frac{1}{6}$, и $\frac{k}{p} > 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Итак, $k > \frac{5}{6}p$.

Словами: если бы Петя догнал Колю ровно в конце шестого круга, Коля пробежал бы ровно $5$ кругов и бежал бы со скоростью $\frac{5}{6}p$. Петя догнал его позже — значит, Коля отстаёт слабее и бежит быстрее, чем $\frac{5}{6}p$. (Вторая граница — $\frac{k}{p} < \frac{6}{7}$ из $D' < 7$ — опять не понадобится.)

На рисунке ниже обе доли отмечены на числовой прямой: отрезок Васи лежит левее $\frac{3}{4}$, отрезок Коли — правее $\frac{5}{6}$, и они не пересекаются. Уже видно, что Коля быстрее Васи.

Пока Коля бежит десять кругов, Вася не успевает девять

Сравним Васю с Колей. У нас есть $v < \frac{3}{4}p$ и $k > \frac{5}{6}p$. Разделим первое неравенство на второе — так можно, потому что все числа положительны, а делим меньшее на большее:

Значит, скорость Васи меньше $\frac{9}{10}$ скорости Коли. Посмотрим на момент, когда Коля заканчивает свой десятый круг. За это же время Вася пробежал $10 \cdot \frac{v}{k} < 10 \cdot \frac{9}{10} = 9$ кругов. Коля пробежал $10$ кругов, Вася — меньше $9$, то есть Коля опережает Васю больше чем на круг (рисунок ниже).

Но отрыв Коли от Васи растёт постепенно: на старте он равен нулю, а к концу десятого круга стал больше круга. Значит, где-то раньше он был равен ровно одному кругу — в этот момент Коля и обогнал Васю в первый раз (шаг 1). Этот момент наступил раньше, чем Коля закончил десятый круг. Что и требовалось доказать.

Почему именно $\frac{9}{10}$: если бы Вася бежал ровно со скоростью $\frac{9}{10}k$, Коля догнал бы его ровно на финише десятого круга (Вася пробежал бы ровно $9$). Но Вася медленнее — поэтому обгон случается раньше.