Задача 2. Стёртые две цифры

Две части числа

Пусть после стирания двух последних цифр осталось число $a$, а сами стёртые цифры образуют число $b$. Стёртые цифры — это две последние цифры, поэтому $b$ лежит от $0$ до $99$ (если стёрли «05», то $b=5$; если «00», то $b=0$). Исходное число — это $a$ сотен и ещё $b$:

Например, у числа $2024$ стираем «24»: остаётся $a=20$, стёрто $b=24$, и правда $2024=100\cdot 20+24$.

Теперь сумма из условия — исходное число плюс то, что осталось:

Для $2024$: $2024+20=2044=101\cdot 20+24$.

Зачем это нужно: условие про «стёрли цифры» превратилось в формулу, в которой видно, из чего сделана сумма — из $a$ штук по $101$ и ещё $b$.

Если в числе меньше трёх цифр, после стирания не остаётся ничего, то есть $a=0$: сумма равна самому числу и не больше $99$. Дальше нам это не помешает.

Остаток суммы при делении на 101 — это стёртые цифры

Разделим сумму $101a+b$ на $101$ с остатком. Слагаемое $101a$ делится на $101$ без остатка — это $a$ раз по $101$. Слагаемое $b$ меньше $101$ (оно не больше $99$). Значит, при делении на $101$ получается неполное частное $a$ и остаток $b$:

Вывод: остаток суммы при делении на $101$ всегда равен $b$, то есть лежит от $0$ до $99$. Остаток $100$ у суммы не бывает.

Как это выглядит на числовой прямой (рисунок ниже): при $a=20$ стёртые цифры пробегают от $00$ до $99$, и суммы пробегают сто чисел подряд — от $2020$ до $2119$. Следующее число $2100$ даёт $a=21$, $b=0$ и сумму $2121$. Число $2120$ пропущено, и это не случайно: $2120=101\cdot 21-1=101\cdot 20+100$, у него остаток $100$. Так же пропущены $100$, $201$, $302$, … — все числа с остатком $100$.

Какой остаток у числа из условия

Число $101^{50}$ — это произведение пятидесяти множителей $101$, поэтому оно делится на $101$: $101^{50}=101\cdot 101^{49}$. Чтобы найти остаток числа $101^{50}-1$, отнимем от $101^{50}$ не $1$, а целых $101$, а потом вернём $100$:

Число в скобках целое, а $100<101$. Значит, при делении на $101$ число $101^{50}-1$ даёт остаток $100$.

Но по шагу 2 сумма из условия даёт остаток от $0$ до $99$ — остаток $100$ у неё невозможен. Поэтому сумма не может равняться $101^{50}-1$. Ответ: не могло.

Как до этого догадаться: в условии стоит число, которое на $1$ меньше степени $101$, а в сумме $101a+b$ тоже есть $101$. Когда в задаче два раза встречается одно и то же число, стоит посмотреть на остатки от деления на него.

Тот же вывод без слова «остаток»

Можно рассуждать и через оценки. При данном $a$ сумма $101a+b$ лежит в «окне» из ста чисел:

Допустим, сумма равна $101^{50}-1$. Тогда $101a\le 101^{50}-1<101^{50}=101\cdot 101^{49}$, откуда $a<101^{49}$, то есть $a\le 101^{49}-1$. Но тогда сумма не больше

а это меньше, чем $101^{50}-1$. Противоречие: окно с $a=101^{49}-1$ кончается на $101^{50}-2$, а окно с $a=101^{49}$ начинается с $101^{50}$. Число $101^{50}-1$ попадает ровно в щель между ними (рисунок ниже). Это то же самое, что остаток $100$ в шаге 3, только без деления.