Задача 3. Точка за основанием

Что известно и что искать

Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$: $AB = BC$, а углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Угол $ABC$ при вершине — тот, что просят найти. Точка $K$ лежит на прямой $AC$ за точкой $A$ (не на стороне, а на её продолжении), точка $L$ — на боковой стороне $AB$. Два равенства из условия: $KL = LC$ и $KA = LB$.

Ни одной длины и ни одного угла в условии нет, а ответ — конкретный угол. Значит, два равенства вместе должны «зажать» треугольник: при большинстве углов $ABC$ их нельзя выполнить одновременно. В модели это видно: если отложить $K$ так, что $KA = LB$, то отрезки $KL$ и $LC$ обычно получаются разными. Будем выяснять, что равенства говорят об углах.

Проверим концы стороны $AB$. Точка $L$ не совпадает с $B$: иначе $KA=LB=0$, а $K$ выбрана за $A$. Если $L=A$, то $KA=KL=LC=AC$ и $KA=LB=AB$, то есть $AC=AB=BC$: ответ сразу $60^\circ$. Дальше рассматриваем $L$ строго между $A$ и $B$, чтобы все используемые треугольники были невырожденными.

Равные углы: KLA и LCB

Из $KL = LC$ треугольник $KLC$ равнобедренный, поэтому его углы при основании $KC$ равны: $\angle LKA = \angle LCA$. Обозначим их $\varphi$.

Теперь посмотрим на угол $BAC$. Для треугольника $KAL$ это внешний угол при вершине $A$: точки $K$, $A$, $C$ лежат на одной прямой. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BAC = \angle LKA + \angle KLA$. Отсюда $\angle KLA = \angle BAC - \varphi$.

С другой стороны, угол $BCA$ составлен из углов $LCB$ и $LCA$, потому что точка $L$ лежит на отрезке $AB$, то есть внутри угла $BCA$:$\angle LCB = \angle BCA - \varphi$. А $\angle BAC = \angle BCA$ — углы при основании равнобедренного треугольника. Значит,

Зачем это нужно: у нас есть равные отрезки $KL = LC$, и мы нашли равные углы при их концах $L$ и $C$ — это заготовка для равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Не хватает второй пары равных сторон.

Точка D и равные треугольники

Пока использовано только $KL = LC$. Второе равенство $KA = LB$ связывает отрезок на основании с отрезком на боковой стороне. Перенесём его на сторону $AB$: продолжим $BA$ за точку $A$ и отложим $AD = KA$. Тогда

Сравним треугольники $KLD$ и $LCB$:

• $KL = LC$ — по условию;

• $LD = CB$ — только что получили;

• угол между этими сторонами: $\angle KLD = \angle KLA$, потому что $D$ лежит на луче $LA$, а $\angle KLA = \angle LCB$ по шагу 2.

Две стороны и угол между ними равны, поэтому треугольники равны; вершины соответствуют так: $K \to L$, $L \to C$, $D \to B$. Тогда равны и третьи стороны: $KD = LB$.

Треугольник ADK равносторонний — ответ

Соберём равенства: $KD = LB$ (шаг 3), $LB = KA$ (условие), $KA = AD$ (так отложили $D$). Значит, $KD = KA = AD$: все три стороны треугольника $ADK$ равны, он равносторонний, и $\angle DAK = 60^\circ$.

Угол $DAK$ и угол $BAC$ — вертикальные: $D$ лежит на прямой $BA$ за точкой $A$, а $K$ — на прямой $CA$ за точкой $A$. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle BAC = 60^\circ$. Тогда и $\angle BCA = 60^\circ$, а угол при вершине

Треугольник $ABC$ оказался равносторонним. Осталось убедиться, что такая картинка вообще бывает, — это в разделе «Проверка».