Математика · 8 класс · Дистанционный этап, II тур

За круглым столом сидят $n$ человек: рыцарей, всегда говорящих правду, и лжецов, которые всегда лгут. Каждый из них знает про остальных, кто рыцарь, а кто — лжец. Журналист задал каждому из сидящих вопрос: «Кто ваш правый сосед, рыцарь или лжец?», и от каждого получил либо ответ «рыцарь», либо ответ «лжец». Журналисту было известно, что лжецов за столом ровно $8$. Но все равно оказалось, что по полученным ответам невозможно точно установить, кто из сидящих — лжецы. Чему могло быть равно $n$?

У натурального числа стерли две последние цифры и полученное число прибавили к исходному. Могло ли в сумме получиться число $101^{50}-1$?

На продолжении основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $A$ выбрана точка $K$, а на боковой стороне $AB$ — точка $L$ так, что $KL = LC$. Оказалось, что $KA = LB$. Найдите угол $ABC$.

Петя, Вася и Коля бежали по кольцевой дорожке с постоянными скоростями в одном направлении. Они стартовали одновременно и из одной точки. Петя впервые обогнал Васю на своём четвёртом круге (то есть пробежав больше трёх кругов, но ещё не закончив четвёртый), а Колю — на своём седьмом круге. Докажите, что Коля впервые обогнал Васю раньше, чем пробежал десять кругов.

Вася отметил невидимыми чернилами одну из клеток таблицы размером $5\times5$ клеток. Разрешается выделить в таблице четыре идущих подряд по горизонтали или вертикали клетки и спросить у Васи, есть ли среди них отмеченная. Каждый следующий вопрос задается после ответа на предыдущий. За какое наименьшее количество таких вопросов можно наверняка определить отмеченную клетку?