Задача 2.3. Тропа вокруг озера

Три дуги и четыре прогулки

Домики делят тропу вокруг озера на три дуги. Назовём их буквами:

• $x$ — дуга от домика Пятачка до домика Кролика, на которой нет домика Пуха;
• $y$ — дуга от домика Пуха до домика Кролика, на которой нет домика Пятачка;
• $z$ — дуга между домиками Пуха и Пятачка, на которой нет домика Кролика.

Вместе $x$, $y$ и $z$ составляют весь круг.

В понедельник друзья не проходили мимо домов друг друга. Поэтому Пятачок шёл по дуге $x$, а Пух — по дуге $y$, и лишнего круга ни один не делал: иначе прошёл бы мимо чужого дома. Во вторник оба пошли в обратную сторону. Пятачок сначала прошёл дугу $z$ до домика Пуха, а потом дугу $y$. Пух сначала прошёл дугу $z$ до домика Пятачка, а потом дугу $x$.

Время в пути считаем по часам из условия. Например, во вторник Пятачок шёл с $10{:}20$ до $12{:}00$, то есть $100$ минут, а Пух — с $10{:}00$ до $12{:}00$, то есть $120$ минут:

Зачем такая таблица: в задаче про круг легко перепутать, кто куда шёл, а здесь все данные условия собраны в одном месте. Мы считаем, что и во вторник никто не обошёл озеро лишний раз; в шаге 6 докажем, что иначе и быть не могло.

Где они могли встретиться

Посмотрим на вторник. Оба начинают путь с одной и той же дуги $z$ и идут по ней навстречу друг другу: Пух — от своего домика к домику Пятачка, Пятачок — от своего домика к домику Пуха. Пройдя $z$, Пух сворачивает на дугу $x$, а Пятачок — на дугу $y$.

У дуги $x$ с дугами $z$ и $y$ общие только две точки: домик Пятачка и домик Кролика. Поэтому, когда Пух уже идёт по $x$, а Пятачок — по $z$ или по $y$, оказаться в одном месте они могут только у одного из этих двух домиков.

Значит, всё решает дуга $z$. Пятачок выходит на неё в $10{:}20$. Если Пух к этому моменту уже прошёл $z$ целиком, они разминулись. Если ещё нет, они идут по $z$ навстречу друг другу и обязательно встретятся. Нужно узнать, сколько минут Пух идёт по дуге $z$, а для этого — её длину и скорость Пуха.

Кто быстрее: обойдём озеро целиком

Скорости друзей неизвестны, но их можно сравнить. Сложим два пути Пуха: в понедельник он прошёл дугу $y$, во вторник — дуги $z$ и $x$. Вместе это ${x+y+z}$, то есть ровно один круг. Значит, весь круг Пух проходит за

С Пятачком то же самое: $x$ в понедельник и $z+y$ во вторник — снова один круг, и на него у Пятачка уходит

Как это заметить: в каждой строке таблицы буквы $x$, $y$ и $z$ встречаются ровно по одному разу.

Один и тот же круг Пух проходит быстрее. Чтобы сравнивать было удобно, будем мерить тропу временем Пятачка: длина дуги — это сколько минут по ней идёт Пятачок. Тогда весь круг равен $220$, а за одну минуту Пятачок проходит $1$. Пух проходит те же $220$ за $200$ минут, то есть за одну минуту

Пух быстрее Пятачка в $1{,}1$ раза.

Длина дуги z

В наших единицах дуга $x$ равна $120$: Пятачок шёл по ней $120$ минут. Во вторник Пух шёл по дугам $z$ и $x$ тоже $120$ минут, но за каждую минуту проходил $1{,}1$. Поэтому вместе эти две дуги равны

Отсюда

Дуга между домиками Пуха и Пятачка совсем короткая: Пятачку на неё нужно всего $12$ минут. Найдём заодно и дугу $y$: её Пух проходит за $80$ минут, значит, ${y=80\cdot1{,}1=88}$. Получилось $x=120$, $y=88$, $z=12$, и вместе ${120+88+12=220}$ — весь круг.

Вторник по минутам

Пух проходит дугу $z$ длиной $12$, делая по $1{,}1$ в минуту. На это уходит

Он вышел в $10{:}00$, значит, мимо домика Пятачка прошёл примерно в $10{:}11$. А Пятачок выйдет из дома только в $10{:}20$ — ещё через $9\tfrac{1}{11}$ минуты. Пока Пух проходит мимо, Пятачок дома, а не на тропе.

Дальше Пух идёт по дуге $x$ и уходит от домика Пятачка всё дальше. Пятачок, выйдя в $10{:}20$, идёт в другую сторону — по $z$, а потом по $y$. По шагу 2 оказаться в одном месте они могли только у домика Пятачка (но Пух прошёл его раньше, чем Пятачок вышел) или у домика Кролика. У Кролика оба оказались в $12{:}00$, подойдя с разных сторон, — это и есть их встреча, и она уже в конце пути.

Итак, пока друзья шли по тропе, они не встречались.

Почему никто не сделал лишний круг

Осталось проверить то, что мы приняли в шаге 1: во вторник никто не обошёл озеро лишний раз.

Пятачок. В любой полный круг входит дуга $x$, а на неё у Пятачка уходит $120$ минут. Во вторник он был в пути всего $100$ минут — на лишний круг времени не хватило бы.

Пух. Раз у Пятачка лишнего круга нет, он прошёл во вторник ровно $z+y$ за $100$ минут, поэтому одну дугу $y$ Пятачок проходит меньше чем за $100$ минут. Пух проходит её за $80$ минут, значит, он быстрее Пятачка меньше чем в ${100:80=1{,}25}$ раза. Если бы Пух сделал лишний круг, то в его пути во вторник дуга $x$ встретилась бы дважды. Две дуги $x$ Пятачок проходит за $240$ минут, а Пух — больше чем за ${240:1{,}25=192}$ минуты. Но у Пуха было всего $120$ минут. Значит, лишнего круга не было ни у кого, и таблица шага 1 верна.