Задача 1.4. Буквы и цифры на карточках

Что мы знаем о карточках

Буквы здесь — просто имена цифр. Одинаковые цифры Вася подписал одной буквой, разные — разными. Значит, одна и та же буква всегда означает одну и ту же цифру, а у разных букв цифры разные. В словах встречаются семь разных букв: Л, О, М, В, А, И, Н. Это семь разных цифр от $0$ до $9$; ноль — тоже цифра.

От порядка карточек сумма не меняется, поэтому каждое слово — это просто сумма цифр его букв. Будем писать букву вместо её цифры:

Найти нужно сумму $\text{Л}+\text{И}+\text{А}+\text{Н}+\text{А}$ — в слове ЛИАНА две карточки А с одной и той же цифрой — и произведение $\text{М}\cdot \text{И}\cdot \text{Н}\cdot \text{А}$. Подбирать семь цифр наугад долго, поэтому сначала поищем, что можно узнать из самих слов.

Сравним МОЛВА и ЛОМ

Удобно сравнивать слова, у которых много общих карточек: тогда часть суммы уже известна. В слове МОЛВА лежат те же карточки М, О, Л, что и в слове ЛОМ, и ещё две: В и А. Карточки М, О, Л вместе дают $5$ — это сумма слова ЛОМ. Значит, на В и А приходится всё остальное:

Какие две разные цифры дают $16$? Самая большая цифра — $9$, поэтому вторая не меньше $16-9=7$. Остаются три варианта: $7+9$, $8+8$ и $9+7$. Вариант $8+8$ не годится: буквы В и А разные, и цифры у них разные. Значит, одна из букв В и А — это $7$, а другая — $9$. Какая из них какая, пока неизвестно.

Какие цифры у Л, О и М

Теперь посмотрим на само слово ЛОМ: в нём три разные цифры с суммой $5$. Сумма очень маленькая, а у маленькой суммы мало вариантов — значит, их можно выписать все. Если бы среди трёх цифр не было нуля, сумма была бы не меньше $1+2+3=6$, а это больше $5$. Значит, одна из цифр — $0$, а две другие — разные цифры без нуля с суммой $5$. Это $1$ и $4$ или $2$ и $3$. Других троек нет:

Какая из букв Л, О, М получила какую цифру, мы пока не знаем.

Где 9, а где 7: слово ВОЛ

В слове ВОЛ к карточкам О и Л добавлена карточка В. Поэтому $\text{О}+\text{Л}=13-\text{В}$. Проверим оба варианта из шага 2:

• если $\text{В}=7$, то $\text{О}+\text{Л}=13-7=6$;
• если $\text{В}=9$, то $\text{О}+\text{Л}=13-9=4$.

Но О и Л — две из трёх цифр слова ЛОМ. В тройке $0$, $1$, $4$ пары дают суммы $0+1=1$, $0+4=4$ и $1+4=5$, в тройке $0$, $2$, $3$ — суммы $2$, $3$ и $5$. Суммы $6$ нет ни в одной тройке, поэтому $\text{В}=7$ невозможно. Значит, $\text{В}=9$ и $\text{А}=7$.

Сумма $4$ встречается только один раз: $0+4$. Поэтому О и Л — это $0$ и $4$, а М — оставшаяся цифра той же тройки: $\text{М}=5-4=1$.

Какая из букв О и Л равна $0$, а какая $4$, условие не решает. В словах ЛОМ, МОЛВА и ВОЛ карточки О и Л всегда лежат вместе, и если поменять их цифры местами, ни одна из этих сумм не изменится. Запомним оба варианта.

Цифры И и Н

Осталось слово ВИНА. Подставим $\text{В}=9$ и $\text{А}=7$: $9+\text{И}+\text{Н}+7=29$, откуда

Цифры $0$ и $4$ заняты буквами Л и О, $1$ — буквой М, $7$ — буквой А, $9$ — буквой В. Свободны $2$, $3$, $5$, $6$ и $8$ — из них и выбираем И и Н. К каждой свободной цифре подберём вторую так, чтобы вместе получилось $13$: $13-2=11$ и $13-3=10$ — это не цифры; $13-6=7$ — цифра занята буквой А; $13-5=8$ и $13-8=5$ — обе свободны. Подходит только пара $5$ и $8$.

Как и с О и Л, порядок не определён: в слове ВИНА карточки И и Н лежат вместе, и обмен их цифр ничего не меняет.

Считаем ЛИАНА и МИНА

В слове ЛИАНА пять карточек, буква А встречается дважды. Сгруппируем то, что уже знаем: $\text{И}+\text{Н}=13$ из шага 5 и $\text{А}=7$ из шага 4.

Сумма зависит только от Л: при $\text{Л}=0$ получается $27$, при $\text{Л}=4$ — $31$.

Обе суммы действительно получаются. Возьмём $\text{Л}=0$, $\text{О}=4$, $\text{М}=1$, $\text{В}=9$, $\text{А}=7$, $\text{И}=5$, $\text{Н}=8$ и проверим все слова: ЛОМ — $0+4+1=5$, МОЛВА — $1+4+0+9+7=21$, ВОЛ — $9+4+0=13$, ВИНА — $9+5+8+7=29$. Всё сходится, и ЛИАНА $=0+5+7+8+7=27$. Если поменять цифры Л и О местами ($\text{Л}=4$, $\text{О}=0$), суммы ЛОМ, МОЛВА и ВОЛ останутся прежними, а ЛИАНА станет $4+5+7+8+7=31$.

В слове МИНА нет ни Л, ни О. Цифры И и Н перемножаются друг с другом, так что их порядок неважен:

Произведение всегда одно и то же — $280$.