Задача 1.1. Кнопка, нажатая 2022 раза

Нажмём кнопку несколько раз

Начнём с того, что можно сделать руками: посчитаем первые нажатия — вдруг в числах появится закономерность. Каждый раз перемножаем цифры числа на экране и прибавляем $27$:

• 1‑е нажатие: $4\cdot8=32$, $32+27=59$;
• 2‑е нажатие: $5\cdot9=45$, $45+27=72$;
• 3‑е нажатие: $7\cdot2=14$, $14+27=41$;
• 4‑е нажатие: $4\cdot1=4$, $4+27=31$;
• 5‑е нажатие: $3\cdot1=3$, $3+27=30$;
• 6‑е нажатие: $3\cdot0=0$, $0+27=27$;
• 7‑е нажатие: $2\cdot7=14$, $14+27=41$.

После 7‑го нажатия на экране снова $41$ — то же число, что после 3‑го.

Почему дальше всё пойдёт по кругу

Кнопке всё равно, какое это по счёту нажатие и что было на экране раньше: новое число она получает только из того числа, которое видит сейчас. После 7‑го нажатия на экране $41$ — ровно как после 3‑го. Значит, 8‑е нажатие сделает то же, что 4‑е, и даст $31$. Дальше 9‑е повторит 5‑е и даст $30$, 10‑е повторит 6‑е и даст $27$, а 11‑е повторит 7‑е — снова $41$. И так без конца: числа $41$, $31$, $30$, $27$ идут по кругу.

А числа $59$ и $72$, как и исходное $48$, больше не появятся: в круг они не входят. Первые два нажатия — это «разбег», а с 3‑го нажатия начинается круг из четырёх чисел.

Повтора можно было ждать заранее. Сначала на экране $48$ — меньше $100$. Если на экране число меньше $100$, у него не больше двух цифр, их произведение не больше $9\cdot9=81$, поэтому следующее число не больше $81+27=108$. А если на экране число от $100$ до $108$, в нём есть цифра $0$, и следующим будет $0+27=27$. Так что ни после какого нажатия число на экране не станет больше $108$. За $108$ нажатий на экране побывает $109$ чисел (вместе с исходным $48$), а разных чисел от $1$ до $108$ всего $108$. Значит, какое-то число обязательно повторится — самое позднее за $108$ нажатий.

Где кончается каждый круг

Разобьём нажатия на группы. Нажатия $1$ и $2$ — разбег, они дают $59$ и $72$. Дальше каждые четыре нажатия проходят круг целиком:

• нажатия $3$, $4$, $5$, $6$ дают $41$, $31$, $30$, $27$;
• нажатия $7$, $8$, $9$, $10$ — снова $41$, $31$, $30$, $27$;
• нажатия $11$, $12$, $13$, $14$ — опять то же самое.

Каждый круг кончается числом $27$. Поэтому $27$ стоит на экране после $6$, $10$, $14$, … нажатий — каждый раз, когда после разбега пройдено целое число кругов: $6=2+4$, $10=2+4\cdot2$, $14=2+4\cdot3$. В таблице ниже это последний столбец.

Сколько кругов в 2022 нажатиях

Разбег убираем первым делом: круги начинаются только с 3‑го нажатия. Остаётся

нажатий, и все они идут по кругу из четырёх чисел. Сколько это кругов?

Делится без остатка: оставшиеся $2020$ нажатий — ровно $505$ полных кругов, то есть $2022=2+4\cdot505$. Последнее, 2022‑е нажатие заканчивает 505‑й круг — это нажатия $2019$, $2020$, $2021$, $2022$ в последней строке таблицы. А каждый круг кончается числом $27$. Значит, после $2022$ нажатий на экране $27$.