Шаг в будущее 2023/24 · Математика · 9 кл., №2

Условие

В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$ а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=4:5$ Прямые $KP$ $MQ$ пересекаются в точке $O$ Найти площадь треугольника $KOQ$ если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 48

Схема к условию. Отрезки и точки сохранены; площадь не показана.

$MP:PN=2:3$ $NQ:QK=4:5$ Масштаб условный.

О задаче · 9 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

От вспомогательной параллели к отношению площадей

Выберите состояние. Построение показывает, откуда берутся два отношения сторон; отрезок на втором рисунке отдельно повёрнут для чтения.

1. Параллель и подобие

Строим $QH\parallel MN$ Сначала получаем $QH=\frac53u$ затем $OP:OH=MP:QH=6:5$

Через Q проведена параллель MN. Точка H лежит на KP.

2. Отношение частей

Отрезок $PH$ состоит из $6+5=11$ долей. Поэтому $OP=\frac6{11}PH$ а не $\frac65PH$

3. Сравнение площадей

Вертикальные углы при $O$ равны. Умножаем отношения двух сторон при этих углах: $\frac{S_{KOQ}}{S_{MOP}}=\frac{OK}{OP}\cdot\frac{OQ}{OM}=\frac{25}{8}\cdot\frac56$ .

Вспомогательная прямая выделена золотым; дугами отмечены равные вертикальные углы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Через точку пересечения уже проходят две прямые. У треугольников с вершиной в этой точке одинаковы синусы углов между этими прямыми.

Подсказка 2

Проведите через $Q$ прямую, параллельную $MN$ до пересечения с $KP$ в точке $H$ Используйте подобие треугольников $KHQ$ $KPN$ а затем $OMP$ $OQH$

Разобрать решение по шагам

Свяжем данные отношений с нужными площадями

У треугольников $MOP$ и $KOQ$ стороны лежат на двух пересекающихся прямых $KP$ и $MQ$ Если найдём отношения $OK:OP$ и $OQ:OM$ сможем сравнить площади. Но в условии даны отношения на других сторонах. Чтобы перенести их на нужные прямые, проведём через $Q$ отрезок $QH\parallel MN$ где $H\in KP$ Пусть $MP=2u$ $PN=3u$

Через Q проведена параллель MN. Точка H лежит на KP.

$QH\parallel MN$ В первом подобии соответствуют $K\leftrightarrow K$ $H\leftrightarrow P$ $Q\leftrightarrow N$

Первое подобие переносит отношение с боковой стороны

В треугольниках $KHQ$ и $KPN$ угол при $K$ общий. Углы $KHQ$ и $KPN$ равны, поскольку $QH\parallel PN$ Значит, треугольники подобны по двум углам; вершинам $K,H,Q$ соответствуют $K,P,N$ Так как $NQ:QK=4:5$ вся сторона $KN$ состоит из девяти частей, а $KQ$ — из пяти. Поэтому

\begin{aligned} \frac{KH}{KP}&=\frac{KQ}{KN}=\frac59,\\[0.3em] QH&=\frac59\,PN=\frac59\cdot3u=\frac53u. \end{aligned}

Вычтем верхнюю часть $KH$ из всего отрезка $KP$

PH=KP-KH=\left(1-\frac59\right)KP=\frac49KP.

Находим OP и OK

Теперь сравним $OMP$ и $OQH$ Углы $MOP$ и $QOH$ вертикальные, а углы $MPO$ и $QHO$ равны как накрест лежащие при $MP\parallel QH$ Соответствие вершин: $O,M,P$ и $O,Q,H$

\frac{OM}{OQ}=\frac{OP}{OH}=\frac{MP}{QH}=\frac{2u}{\frac53\,u}=\frac65.

Точка $O$ лежит между $P$ и $H$ $PH=OP+OH$ Из $OP:OH=6:5$ получаем $OP=\frac{6}{6+5}PH=\frac6{11}PH$ . Поэтому

\begin{aligned} OP&=\frac6{11}PH=\frac6{11}\cdot\frac49KP=\frac8{33}KP,\\[0.4em] OK&=KP-OP=\left(1-\frac8{33}\right)KP=\frac{25}{33}KP. \end{aligned}

Итак, $OK:OP=25:8$ а из подобия $OQ:OM=5:6$

Два отношения сторон дают отношение площадей

Площадь треугольника с двумя сторонами $a,b$ и углом $\varphi$ между ними равна $\frac12ab\sin\varphi$ высота к стороне $a$ равна $b\sin\varphi$ У наших треугольников углы при $O$ вертикальные и потому равны. Одинаковые множители $\frac12$ и синус угла сократятся:

\begin{aligned} \frac{S_{KOQ}}{S_{MOP}} &=\frac{OK\cdot OQ}{OP\cdot OM}\\[0.4em] &=\frac{25}{8}\cdot\frac56=\frac{125}{48}. \end{aligned}

По условию $S_{MOP}=48$ следовательно,

S_{KOQ}=48\cdot\frac{125}{48}=125.

Вспомогательная прямая выделена золотым; дугами отмечены равные вертикальные углы.

$QH\parallel MN$ $H\in KP$ Синим выделен $\triangle MOP$ золотым — $\triangle KOQ$ Используются также $\triangle KHQ$ $\triangle KPN$ $\triangle OMP$ и $\triangle OQH$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$125$ квадратных единиц.

Главная идея

Параллельный отрезок связывает отношения из условия с двумя подобиями. После этого площадь находится по отношениям сторон при равных углах.

Как заметить эту идею в другой задаче

Две прямые пересекаются внутри треугольника, а на сторонах даны отношения отрезков. Вспомогательная параллельная прямая часто превращает эти отношения в подобие.

Возможная ошибка

Нельзя приравнивать отношение площадей отношению одной пары сторон, если высоты не равны. Здесь нужны обе пары отрезков при общем угле.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 2 ↗

Шаг в будущее · 2023/24 · математика · 9 класс · заключительный этап · вариант 1.

Сохранены проверка и процедурные замечания исходного пилота. Ответ сопоставлен с официальным материалом; перенос страницы не является новой независимой экспертизой доказательства.

Примечания к источнику

При поиске исходного условия по числу 48 поиск по PDF также вывел строку официального разбора с результатом 125. Это произошло до сохранения собственного решения. Собственный разбор использует другую вспомогательную прямую, однако строго слепая последовательность не соблюдена.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Высота и параллельный отрезок →

Шаг в будущее · № 3

Сложность 3/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Подобие по двум углам
Свойства параллельных прямых
Площадь через две стороны и угол

Приёмы решения: Сравнение площадей по основанию и высоте

Задать вопрос по задаче →