Задача 2. Три электросамоката

Считаем время, а не километры

Длины участков нам не даны, а скорость Виктора зависит именно от того, как путь разделён. Опишем участки через время Аркадия: пусть он ехал по первому участку $t_1$ ч, а по второму $t_2$ ч. Путь равен скорости, умноженной на время, поэтому первый участок — $48t_1$ км, второй — $24t_2$ км, а весь путь

Виктор стартовал и финишировал вместе с Аркадием — значит, весь этот путь он проехал за то же время $t_1+t_2$ ч. Борис тоже ехал $t_1+t_2$ ч; это сейчас пригодится.

Борис против Аркадия на каждом участке

Первый участок. Борис едет $24$ км/ч — вдвое медленнее Аркадия, поэтому едет этот участок вдвое дольше: $2t_1$ ч. Проверка: $48t_1:24=2t_1$.

Второй участок. Его длина $24t_2$ км. Со скоростью ровно $48$ км/ч Борис проехал бы его за

то есть вдвое быстрее Аркадия. А Борис едет не медленнее $48$ км/ч, поэтому тратит на второй участок не больше $\frac{t_2}{2}$ ч. Обозначим его время на втором участке буквой $s$:

Что даёт одновременный финиш

Борис и Аркадий ехали одинаковое время:

Вычтем из обеих частей $t_1$: получится $t_1+s=t_2$, то есть $s=t_2-t_1$. Другими словами, на первом участке Борис отстал от Аркадия на $t_1$ ч, а на втором ровно столько отыграл.

Но $s\le\frac{t_2}{2}$, значит, $t_2-t_1\le\frac{t_2}{2}$. Прибавим к обеим частям $t_1$ и вычтем $\frac{t_2}{2}$:

Второй участок Аркадий ехал не больше чем вдвое дольше первого. Вот что на самом деле сообщает условие про Бориса: медленная часть поездки Аркадия ($24$ км/ч) не может длиться слишком долго.

Сравниваем Виктора с самокатчиком на 32 км/ч

Представим ещё одного самокатчика, который весь путь едет ровно $32$ км/ч. За $t_1+t_2$ ч он проедет $32(t_1+t_2)=32t_1+32t_2$ км. Сравним это с настоящим путём:

По шагу 3 $t_2\le 2t_1$, поэтому $2t_1-t_2\ge 0$, и разность не меньше нуля: весь путь не короче $32(t_1+t_2)$ км.

Значит, Виктор не мог ехать медленнее $32$ км/ч: тогда за $t_1+t_2$ ч он проехал бы меньше $32(t_1+t_2)$ км и не успел бы к финишу. Виктор ехал со скоростью не меньше $32$ км/ч, что и требовалось доказать.

На графике под этим шагом то же самое: на первом участке Аркадий обгоняет воображаемого самокатчика на $16t_1$ км, на втором отстаёт от него на $8t_2$ км — а это не больше, чем он успел обогнать.

Ровно 32 км/ч бывает

Скорость Виктора равна $32$ км/ч ровно тогда, когда $t_2=2t_1$: тогда $s=\frac{t_2}{2}$, то есть Борис едет второй участок ровно $48$ км/ч, а участки равны: $48t_1=24\cdot 2t_1$.

Пример: оба участка по $12$ км. Аркадий едет $12$ км за $15$ мин и $12$ км за $30$ мин — всего $45$ мин. Борис — $12$ км за $30$ мин и $12$ км за $15$ мин (это $48$ км/ч), тоже $45$ мин. Виктор проезжает $24$ км за $45$ мин, то есть за $\frac34$ ч:

Значит, нижнюю границу $32$ км/ч из условия увеличить нельзя: оценка точная.

Второй вариант

Здесь неравенство в другую сторону, а две известные скорости — у Юрика. Пусть Юрик ехал по первому участку $s_1$ ч (со скоростью $27$ км/ч), а по второму $s_2$ ч ($54$ км/ч). Тогда длины участков — $27s_1$ км и $54s_2$ км.

Эрик на первом участке едет $54$ км/ч — вдвое быстрее Юрика — и тратит $\frac{s_1}{2}$ ч. Второй участок со скоростью ровно $27$ км/ч он ехал бы $\frac{54s_2}{27}=2s_2$ ч, а едет не быстрее $27$ км/ч, поэтому тратит не меньше $2s_2$ ч. Финиш одновременный, значит,

Ярик проехал весь путь $27s_1+54s_2$ км за $s_1+s_2$ ч. Самокатчик со скоростью $36$ км/ч проехал бы за это время $36(s_1+s_2)$ км, и

Он проехал бы не меньше всего пути, значит, Ярик ехал не быстрее $36$ км/ч. Ровно $36$ км/ч — когда $s_1=2s_2$: участки равны и Эрик едет второй участок ровно $27$ км/ч. Например, по $12$ км: Юрик едет $26$ мин $40$ с и $13$ мин $20$ с, Эрик — $13$ мин $20$ с и $26$ мин $40$ с, у обоих $40$ мин; $24$ км за $40$ мин — это $36$ км/ч.

Доказано: Ярик ехал со скоростью не больше $36$ км/ч.