Задача 1. Прогулка по памяти

Назовём развилки и разделим парк на две части

Обозначим центр парка буквой $O$, развилки на малой окружности — $A$ (вверху), $B$ (справа), $C$ (внизу), $D$ (слева), а развилки на большой окружности — $K$, $L$, $M$, $N$. Дорожки $AK$, $BL$, $CM$ и $DN$ ведут с малой окружности на большую — назовём их перемычками.

Разделим парк на две части:

• малый круг — центр $O$, развилки $A$, $B$, $C$, $D$, четыре дорожки из центра и четыре дуги малой окружности;

• большая окружность — развилки $K$, $L$, $M$, $N$ и четыре её дуги.

Каждая дорожка, кроме перемычек, целиком лежит в одной из частей. Перемычки — единственные дорожки между частями, и у всех четырёх Костя записал числа: $AK$ — $10$, $BL$ — $15$, $CM$ — $20$, $DN$ — $20$. Ещё четыре числа записаны у дуг малой окружности: $DA$ — $10$, $AB$ — $20$, $BC$ — $15$, $CD$ — $10$. У радиусов и у дуг большой окружности чисел нет.

Проход по перемычке — переход в другую часть

Каждый раз Костя проходит дорожку целиком и оказывается на развилке. Если это была перемычка, он попал из одной части парка в другую: из малого круга на большую окружность или обратно. Если это была любая другая дорожка, он остался в той же части, где был.

Назовём проход по перемычке переходом. Сколько всего было переходов, мы знаем из записей Кости, хотя про восемь дорожек он ничего не записал:

Переходов должно быть чётное число

Прогулка началась в центре $O$, то есть в малом круге. После первого перехода Костя на большой окружности, после второго — снова в малом круге, после третьего — опять на большой окружности. Каждый переход меняет часть, поэтому после нечётного числа переходов Костя на большой окружности, а после чётного — в малом круге.

Прогулка закончилась тоже в центре $O$, в малом круге. Значит, переходов за всю прогулку было чётное число. Можно сказать и так: уйдя на большую окружность, Костя потом обязательно возвращается, и переходы разбиваются на пары «ушёл — вернулся».

Записи противоречат прогулке

По записям Кости переходов $65$ — это нечётное число. А у любой прогулки из центра в центр переходов чётное число. Значит, такой прогулки нет: Костя ошибся, причём хотя бы в одном из чисел у перемычек.

Заметим, что нам не понадобились ни числа у дуг малой окружности, ни запрет разворачиваться: противоречие дала одна чётность.

Ответ: Костя ошибся, такой маршрут невозможен.

Второй вариант

Рисунок второго варианта немного другой: перемычки из $D$ и $C$ идут к большой окружности влево вниз. Но части парка те же — малый круг и большая окружность, и соединяют их по-прежнему только четыре перемычки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$. Андрей записал у них $15$, $10$, $25$ и $25$ (число $25$ слева мы относим к перемычке $DN$ — см. допущения), а у дуг малой окружности — $20$, $10$, $20$ и $15$.

Как и в первом варианте, каждый проход по перемычке — переход из одной части в другую, а прогулка начинается и кончается в центре, поэтому переходов чётное число. По записям

— нечётное число. Ответ: Андрей ошибся, такой маршрут невозможен.