Задача 2. Сто чисел на доске

Записываем условие через общую сумму $S$

Обозначим сумму всех $100$ чисел через $S$. Возьмём любые два написанных числа $a$ и $b$. «Сумма всех остальных» — это сумма всех чисел без $a$ и $b$, то есть $S-a-b$. Условие для этой пары:

Зачем это нужно: в условии «сумма остальных» своя у каждой пары, и сравнивать пары между собой неудобно. А $S$ — одно число для всей доски. Перенесём $a$ и $b$ влево:

Теперь у всех пар одинаковая правая часть. Это равенство верно для любых двух чисел с доски.

Добавляем единицу — и получаем произведение

Выражение $ab+a+b$ очень похоже на раскрытые скобки $(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$ — не хватает только единицы. Прибавим $1$ к обеим частям равенства $ab+a+b=S$:

Проверим, что скобки раскрываются правильно:

На рисунке ниже это площадь прямоугольника со сторонами $a+1$ и $b+1$, разрезанного на четыре части.

Что мы получили: число $S+1$ одно для всей доски. Значит, для любых двух написанных чисел произведение $(a+1)(b+1)$ одно и то же — оно равно $S+1$. Обозначим $T=S+1$. Дальше всё зависит от того, равно $T$ нулю или нет.

Случай $T\ne0$: все числа равны, и $S=0$ или $S=9800$

Пусть $T=S+1\ne0$. Тогда ни одно из чисел $a+1$ не равно нулю: иначе произведение $(a+1)(b+1)$ с любым другим числом $b$ было бы нулём, а не $T$.

Возьмём любое число $a$ с доски и два других числа $b$ и $c$. Для пар $a$, $b$ и $a$, $c$:

Разделим обе части на $a+1\ne0$: $b+1=c+1$, то есть $b=c$. Значит, все числа, кроме $a$, равны между собой. Число $a$ мы брали любое — повторим то же рассуждение с другим числом $b$ вместо $a$: все числа, кроме $b$, равны между собой, в том числе и $a$. Итак, все $100$ чисел равны одному числу $a$.

Подставим это в условие: произведение двух чисел равно $a\cdot a=a^2$, а сумма остальных $98$ чисел равна $98a$. Получаем $a^2=98a$, то есть $a(a-98)=0$:

• $a=0$: все числа — нули, $S=0$;

• $a=98$: все числа равны $98$, $S=100\cdot98=9800$.

Проверка для $a=98$: произведение $98\cdot98=9604$, сумма остальных $98$ чисел $98\cdot98=9604$ — совпало.

Случай $T=0$: почти все числа равны $-1$, и $S=-1$

Пусть $S+1=0$, то есть $S=-1$. Тогда для любой пары $(a+1)(b+1)=0$: в каждой паре хотя бы одно из чисел равно $-1$.

Могут ли на доске быть два числа, отличных от $-1$? Нет: для такой пары оба множителя $a+1$ и $b+1$ ненулевые, и их произведение не нуль. Значит, чисел, отличных от $-1$, не больше одного.

Могут ли все $100$ чисел равняться $-1$? Тогда $S=-100$, а мы разбираем случай $S=-1$ — не подходит. (Можно проверить и напрямую: $(-1)\cdot(-1)=1$, а сумма остальных $98$ чисел равна $-98$.)

Остаётся: $99$ чисел равны $-1$, а одно число — какое-то $x$. Тогда $S=-99+x$, и из $S=-1$ получаем $x=98$. Проверим обе разновидности пар (рисунок ниже):

• два числа $-1$: произведение $1$; остальные — $97$ чисел $-1$ и число $98$, их сумма $-97+98=1$;

• число $-1$ и число $98$: произведение $-98$; остальные — $98$ чисел $-1$, их сумма $-98$.

Оба равенства верны, так что такая доска подходит и сумма $-1$ достигается.

Собираем ответ

Мы разобрали все возможности. Либо $S+1\ne0$ — тогда все числа равны $0$ (сумма $0$) или все равны $98$ (сумма $9800$). Либо $S+1=0$ — тогда сумма равна $-1$, и такая доска существует: $99$ чисел $-1$ и одно число $98$.

Ответ: $-1$, $0$ или $9800$.

Важно, что мы нигде не считали числа целыми: замена $(a+1)(b+1)=S+1$ и деление на $a+1\ne0$ работают для любых чисел, в том числе отрицательных и дробных. Поэтому никакие дроби новых сумм не дают — в модели доски из дробей и не проходят проверку. Те же шаги для доски из $n$ чисел дают суммы $-1$, $0$ и $n(n-2)$ — это и видно на маленьких досках.