Математика · 8 класс · Заключительный этап

Можно ли вписать в клетки таблицы $3\times 3$ различные натуральные числа так, чтобы как в любой строке, так и в любом столбце у записанных там трех чисел произведение делилось на $2024$, а сумма была меньше $100$?

На доске написано $100$ чисел. Оказалось, что произведение любых двух написанных чисел равно сумме всех остальных. Чему может быть равна сумма всех написанных чисел?

Точка $E$ — середина диагонали $BD$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ отмечена такая точка $F$, что $\angle AFE = \angle BAD$. Точка $K$ симметрична точке $B$ относительно $F$. Докажите, что $AC + CE \ge EK$.

Дано натуральное число $k$. Из натуральных чисел, не превосходящих $12k^3$, выбраны $6k+20$ чисел. Докажите, что из них можно выбрать две непересекающиеся шестерки чисел с равными суммами.

Звезда состоит из $100$ горючих шнуров $OA_1, \ldots, OA_{100}$, соединённых в единственной точке $O$. Время горения каждого шнура не зависит от того, с какого конца его поджигают, а скорость горения не обязана быть постоянной. Если поджечь звезду в точке $A_1$, она полностью сгорит за $201$ секунду, если в точке $A_2$ — за $202$ секунды, ..., если в точке $A_{99}$ — за $299$ секунд. За какое время звезда полностью сгорит, если её поджечь в точке $A_{100}$?

Существует ли такое натуральное число $n$, что неполные частные от деления $n$ на все натуральные числа от $10$ до $1000$ включительно — это различные нечетные простые числа, а остатки — составные числа (не обязательно различные)? Напомним, что $0$ не является составным числом.

У ювелира есть $100$ золотых монет. Покупатель знает лишь, что веса этих монет равны $1, 2, \ldots, 100$ г в каком-то порядке, а ювелир знает, какая сколько весит. Как ювелиру за два взвешивания на чашечных весах без гирь доказать покупателю, что известная ювелиру однограммовая монета действительно весит $1$ г, но при этом не дать покупателю возможности определить вес никакой другой монеты?

На плоскости отмечено $n$ точек. Если провести серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему любые две отмеченные точки, то с одной стороны от него лежит одна отмеченная точка, а с другой стороны от него — $n-1$ отмеченная точка (на самом серединном перпендикуляре отмеченных точек нет). Каково наибольшее возможное значение $n$?