Задача 1. Таблица 3×3 и число 2024

Чего требует каждая линия

Разложим $2024$ на простые множители. Число чётное: $2024 = 2\cdot 1012$, дальше $1012 = 2\cdot 506$ и $506 = 2\cdot 253$, то есть $2024 = 8\cdot 253$. Число $253$ нечётное, на $3$ и на $5$ не делится, а на $11$ делится: $11\cdot 23 = 220 + 33 = 253$. Итак,

то есть $2024 = 8\cdot 11\cdot 23$. Назовём линией любую строку или столбец. Когда произведение трёх чисел линии делится на $2024$? Когда в нём есть все эти множители:

• множитель $23$. Если бы ни одно из трёх чисел не делилось на $23$, то в их разложениях на простые множители двадцати трёх не было бы — и в произведении тоже (простое число не может «собраться» из других простых). Значит, в каждой линии есть число, кратное $23$;

• множитель $11$: точно так же в каждой линии есть число, кратное $11$;

• три двойки. Двойки складываются: все три числа вместе должны содержать не меньше трёх множителей $2$. Их можно дать одним числом ($8$, $16$, $24$, $\ldots$) или по частям: $4$ и $2$, или $2$, $2$ и $2$. Число $46 = 2\cdot 23$ даёт двойку «в нагрузку» к $23$, а $22 = 2\cdot 11$ — к $11$.

План: собрать в каждой строке и в каждом столбце множители $23$, $11$ и три двойки, но так, чтобы все шесть сумм остались меньше $100$.

Три числа, кратные 23, и самое тяжёлое из них

В каждой из трёх строк есть число, кратное $23$. Эти три числа стоят в разных строках, то есть в разных клетках, а все числа таблицы различны — значит, это три разных числа, кратных $23$. Самые маленькие такие числа — $23$, $46$ и $69$, поэтому одно из трёх не меньше $69$.

В каждом столбце тоже нужно число, кратное $23$. Три таких числа закрывают все строки и все столбцы, только если стоят по одному в каждой строке и в каждом столбце — как три ладьи, которые не бьют друг друга (рисунок ниже). Можно взять и больше трёх чисел, кратных $23$, но каждое лишнее — это ещё $92$ в какой-то линии, а места и так мало.

Самое тяжёлое число — $69$ (или больше). Сумма его строки меньше $100$, поэтому на два других числа этой строки остаётся меньше $100 - 69 = 31$, то есть не больше $30$. То же самое в его столбце. При этом $69 = 3\cdot 23$ нечётное и на $11$ не делится, так что два соседа должны сами дать и множитель $11$, и три двойки. Кажется, что места не хватит, — но давайте посчитаем.

Строка и столбец числа 69

Ищем два различных числа с суммой не больше $30$, которые вместе дают множитель $11$ и три двойки.

• Число, кратное $11$, — это $11$ или $22$ ($33$ уже больше $30$).

• Взяли $11$ (двоек не даёт). Тогда второе число должно делиться на $8$ и быть не больше $30 - 11 = 19$: это $8$ или $16$. Пары $\{11, 8\}$ и $\{11, 16\}$, суммы $19$ и $27$.

• Взяли $22 = 2\cdot 11$ (одна двойка). Второму числу нужны ещё две двойки, и оно не больше $8$: это $4$ или $8$. Пары $\{22, 4\}$ и $\{22, 8\}$, суммы $26$ и $30$.

Других пар нет. Строке и столбцу числа $69$ нужны две пары без общих чисел (числа в таблице различны), например $\{11, 16\}$ для строки и $\{22, 4\}$ для столбца. Поставим $69$ в правый нижний угол: его строка — $11$, $16$, $69$ (сумма $96$), его столбец — $22$, $4$, $69$ (сумма $95$). Проверим произведения через множители. В строке $16 = 2\cdot 8$ и $69 = 3\cdot 23$, поэтому $11\cdot 16\cdot 69 = 6\cdot 2024$. В столбце $22\cdot 4 = 8\cdot 11$ и $69 = 3\cdot 23$, поэтому $22\cdot 4\cdot 69 = 3\cdot 2024$. Оба делятся на $2024$ (рисунок ниже).

Достраиваем левый верхний квадрат

Осталось заполнить четыре клетки квадрата $2\times 2$ слева сверху. Посмотрим, что у линий уже есть и чего не хватает:

• строка 1 уже имеет $22$ — множитель $11$ и одну двойку; строка 2 имеет $4$ — две двойки; столбец 1 имеет $11$; столбец 2 имеет $16$ — четыре двойки;

• строкам 1 и 2 и столбцам 1 и 2 нужны числа, кратные $23$: это $23$ и $46$, и стоять они должны в разных строках и разных столбцах — на одной из двух диагоналей квадрата;

• строке 2 и столбцу 2 ещё нужен множитель $11$. Поставим в их общую клетку (2, 2) число $33 = 3\cdot 11$. Тогда $23$ и $46$ занимают другую диагональ: клетки (1, 2) и (2, 1).

Куда какое? В строке 2 стоят $33$ и $4$ — двоек пока две, значит, в клетку (2, 1) нужно чётное число $46 = 2\cdot 23$, а $23$ встаёт в клетку (1, 2). Последняя клетка (1, 1): строке 1 (в ней $23$ и $22$ — одна двойка) и столбцу 1 (в нём $46$ и $11$ — одна двойка) не хватает по две двойки. Подойдёт число, кратное $4$, но не само $4$ — оно уже занято. Берём $8$.

Таблица готова: первая строка $8$, $23$, $22$; вторая — $46$, $33$, $4$; третья — $11$, $16$, $69$ (рисунок ниже).

Проверяем все шесть линий

Суммы строк: $8 + 23 + 22 = 53$, $46 + 33 + 4 = 83$, $11 + 16 + 69 = 96$. Суммы столбцов: $8 + 46 + 11 = 65$, $23 + 33 + 16 = 72$, $22 + 4 + 69 = 95$. Все шесть меньше $100$.

Произведения считаем через множители: в каждом собираем $8\cdot 11\cdot 23 = 2024$, а что остаётся — множитель перед ним.

• Строка 1: $8\cdot 23\cdot 22 = 2\cdot 2024$ (от $22$ остаётся $2$).

• Строка 2: $46\cdot 33\cdot 4 = 3\cdot 2024$ (двойки: одна от $46$, две от $4$; остаётся $3$ от $33$).

• Строка 3: $11\cdot 16\cdot 69 = 6\cdot 2024$ (от $16$ остаётся $2$, от $69$ — $3$).

• Столбец 1: $8\cdot 46\cdot 11 = 2\cdot 2024$.

• Столбец 2: $23\cdot 33\cdot 16 = 6\cdot 2024$.

• Столбец 3: $22\cdot 4\cdot 69 = 3\cdot 2024$.

Все шесть делятся на $2024$. Девять чисел $8$, $23$, $22$, $46$, $33$, $4$, $11$, $16$, $69$ различны. Ответ: можно. Для вопроса «можно ли» одного проверенного примера достаточно — доказывать, что по-другому нельзя, не нужно.