Задача 2. Куб суммы двух чисел

Раскрываем куб суммы

Обозначим числа $a$, $b$, $c$. Возьмём пару $a$ и $b$: по условию $(a+b)^3=a^3+b^3$. Что это значит на самом деле? Раскроем куб суммы:

Откуда берётся эта формула: куб с ребром $a+b$ разрезается на угловой куб $a^3$, угловой куб $b^3$, три бруска с рёбрами $a$, $a$, $b$ и три бруска с рёбрами $a$, $b$, $b$ (рисунок ниже). Можно и просто перемножить:

а затем раскрыть скобки и привести подобные.

Значит, разность между кубом суммы и суммой кубов равна

Условие для пары $a$, $b$ говорит, что эта разность равна нулю: $3ab(a+b)=0$, то есть $ab(a+b)=0$. Точно так же для двух других пар: $bc(b+c)=0$ и $ca(c+a)=0$.

Зачем это нужно: вместо кубов у нас теперь произведение трёх простых множителей, а про произведение легко сказать, когда оно равно нулю.

Произведение равно нулю: три возможности

Произведение равно нулю, только когда хотя бы один множитель — нуль. Поэтому $ab(a+b)=0$ означает ровно одно из трёх:

• $a=0$;

• $b=0$;

• $a+b=0$, то есть $b=-a$ — числа противоположны.

На числовой прямой противоположные числа — это точки, симметричные относительно нуля: $1{,}5$ и $-1{,}5$, $-0{,}2$ и $0{,}2$. Так что условие задачи переводится на простой язык: в каждой паре либо есть нуль, либо числа противоположны. В модели это и видно: дуга пары становится зелёной, когда одна из точек стоит в нуле или точки симметричны относительно нуля.

Проверим на числах, что перевод верный: $(2+(-2))^3=0$ и $2^3+(-2)^3=8-8=0$ — противоположные числа подходят. А $(1+2)^3=27$ и $1^3+2^3=9$ — разность $18=3\cdot1\cdot2\cdot3$, как и обещает формула.

Если нулей нет — зеркала приводят к противоречию

Докажем от противного. Пусть ни одно из чисел не равно нулю. Тогда в каждой паре остаётся только третья возможность — числа противоположны:

Проследим цепочку. Из $b=-a$ и $c=-b$ получаем $c=-(-a)=a$: число $c$ совпадает с $a$. Но по третьему условию $a$ и $c$ должны быть противоположны: $c+a=0$. Подставим $c=a$: $a+a=2a=0$, откуда $a=0$. А мы предположили, что нулей нет — противоречие.

На рисунке ниже это выглядит так: точка $b$ — зеркальное отражение $a$ относительно нуля, точка $c$ — отражение $b$, то есть снова $a$. Два отражения возвращают точку на место, и третья пара $c$, $a$ оказывается не зеркальной, а совпадающей. Зеркальной она будет, только если точка стоит в самом нуле.

Значит, предположение неверно, и среди трёх чисел есть нуль. Что и требовалось доказать.

Другой способ закончить: сложим три равенства $a+b=0$, $b+c=0$, $c+a=0$ — получим $2(a+b+c)=0$, то есть $a+b+c=0$. Вычтем $a+b=0$: $c=0$. Противоречие то же самое.

Сверх условия: какие тройки подходят

В задаче просят только доказать, что нуль есть. Но из шага 2 легко найти все подходящие тройки. Пусть $a=0$ (нуль есть, можно считать его первым числом). Пары $a$, $b$ и $c$, $a$ подходят автоматически: $(0+b)^3=b^3=0^3+b^3$. Остаётся пара $b$, $c$: $b=0$, или $c=0$, или $c=-b$.

Итак, все решения — это тройки, в которых либо хотя бы два нуля (третье число любое), либо один нуль, а два других числа противоположны: например, $2$, $-2$, $0$. Проверим последнюю: $(2-2)^3=0=8-8$; $(-2+0)^3=-8=-8+0$; $(0+2)^3=8=0+8$ — все три равенства верны. Это и есть «Пример из разбора» в модели.