Popov AcademyЗадача 1. Три часа и две средние
Мотоциклист был в пути три часа (какое-то время он мог и стоять). Его средняя скорость в первые два часа равнялась км/ч и в последние два часа — тоже км/ч. Какое наибольшее расстояние он мог преодолеть?
XVI олимпиада имени Леонарда Эйлера · Дистанционный этап, III тур · дата тура не указана в файле заданий
Математика · 8 класс · Дистанционный этап, III тур
Все пять задач этого этапа: две подсказки, подробный разбор и модели, где можно проверить свою идею до чтения решения. Номера задач — как в оригинале.
Отметки сохраняются на этом устройствеОткрыть задачу →
Задача 2. Куб суммы двух чисел
Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль.
Задача 3. 12345 много раз подряд
Вася хочет несколько раз выписать в строчку число так, чтобы получившееся многозначное число делилось на . Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать?
Задача 4. Шесть друзей, два общих
В классе каждый ученик дружит ровно с шестью другими, и у любых двух учеников есть ровно два общих друга. Сколько учеников в этом классе?
Задача 5. Шесть угловых треугольников
Шестиугольник, все углы которого меньше градусов, таков, что каждый треугольник, образованный тремя идущими подряд его вершинами, имеет площадь . Докажите, что площадь этого шестиугольника не меньше .