Эйлер 2023/24 · Математика · 8 кл., №1 — решение

Условие

Мотоциклист был в пути три часа (какое-то время он мог и стоять). Его средняя скорость в первые два часа равнялась $50$ км/ч и в последние два часа — тоже $50$ км/ч. Какое наибольшее расстояние он мог преодолеть?

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVI олимпиада
Этап: Дистанционный этап, III тур
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: дата тура не указана в файле заданий

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСоставь поездку

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Составь поездку

Задай скорость мотоциклиста на каждый из трёх часов (0 — стоит). Модель проверит обе средние скорости из условия, посчитает путь и покажет поездку на дороге и на графике по общим часам. Попробуй проехать за три часа как можно больше.

Без JavaScript модель не работает. Выпиши три числа — километры за 1-й, 2-й и 3-й час; проверь, что 1-й + 2-й = 100 и 2-й + 3-й = 100, и сложи все три. Попробуй сделать сумму как можно больше.

Сначала попробуй придумать поездку, где обе средние скорости равны $50$ км/ч, а за три часа проехано больше, чем при ровной езде. Подбирай скорость на каждый час в модели «Составь поездку»: она проверит обе средние, посчитает путь и покажет поездку на дороге и на графике. Когда найдёшь самый длинный путь, попробуй объяснить, почему больше нельзя.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Средняя скорость $50$ км/ч за два часа — это ровно $50 \cdot 2 = 100$ км за эти два часа, как бы мотоциклист ни ехал внутри них и сколько бы ни стоял. Запиши, сколько километров проехано за первый и второй часы вместе и за второй и третий вместе.

Подсказка 2

Второй час входит и в «первые два часа», и в «последние два часа». Сложи $100 + 100$ и подумай, какие километры в этой сумме посчитаны дважды. А что будет, если весь второй час мотоциклист стоял?

Разобрать решение по шагам

Средняя скорость — это путь, делённый на время

Обозначим через $d_1$ $d_2$ $d_3$ расстояния (в километрах), которые мотоциклист проехал за первый, второй и третий час. Если какой-то час он стоял, соответствующее число равно $0$ отрицательными эти числа быть не могут.

Что такое средняя скорость за первые два часа? Это весь путь за эти два часа, делённый на $2$ часа — и неважно, ехал он ровно, разгонялся или стоял. По условию она равна $50$ км/ч, значит, за первые два часа проехано $50 \cdot 2 = 100$ км:

d_1 + d_2 = 100.

Точно так же «последние два часа» — это второй и третий час, и за них тоже проехано $100$ км:

d_2 + d_3 = 100.

Зачем это нужно: вместо слов про скорости у нас два точных равенства, и в обоих участвует один и тот же второй час. Как мотоциклист ехал внутри часа — быстрее, медленнее, с остановками, — для равенств неважно: важна только сумма километров за час.

Второй час посчитан дважды

Весь путь — это $d_1 + d_2 + d_3$ Сложим два равенства из шага 1:

(d_1 + d_2) + (d_2 + d_3) = 100 + 100 = 200.

Слева стоит $d_1 + 2d_2 + d_3$ второй час вошёл в обе двойки часов, поэтому он посчитан два раза (рисунок ниже). Значит, весь путь равен

d_1 + d_2 + d_3 = 200 - d_2.

Как это заметить: нарисуй три часа в ряд и две скобки «по два часа» — они перекрываются ровно на втором часе. Каждый километр второго часа входит в обе сотни, и в сумме $200$ он учтён дважды: чем больше проехано во втором часе, тем меньше весь путь.

Три часа в ряд. Скобка сверху — первые два часа:

d_1 + d_2 = 100

км; скобка снизу — последние два часа:

d_2 + d_3 = 100

км. Второй час лежит под обеими скобками, поэтому в сумме

200

он посчитан дважды.

Оценка: больше 200 км не выйдет

Расстояние не бывает отрицательным: $d_2 \geq 0$ Поэтому

d_1 + d_2 + d_3 = 200 - d_2 \leq 200.

Тот же вывод можно увидеть и без формулы. За первые два часа проехано ровно $100$ км. За третий час проехано $d_3 = 100 - d_2$ то есть не больше $100$ км — ведь вместе со вторым часом третий даёт ровно $100$ Итого не больше $100 + 100 = 200$ км.

Равенство возможно только при $d_2 = 0$ — когда весь второй час мотоциклист стоял. Условие не зря оговаривает: «какое-то время он мог и стоять».

Пример: 200 км набираются

Пусть первый час мотоциклист едет со скоростью $100$ км/ч, второй час стоит, третий час снова едет $100$ км/ч: $d_1 = 100$ $d_2 = 0$ $d_3 = 100$

Проверим условие. Первые два часа: $100 + 0 = 100$ км за $2$ ч, средняя скорость $100 : 2 = 50$ км/ч. Последние два часа: $0 + 100 = 100$ км за $2$ ч, тоже $50$ км/ч. Весь путь: $100 + 0 + 100 = 200$ км (график ниже).

Скорость $100$ км/ч условие не запрещает: в нём нет ограничения на скорость, только на две средние. Оценка из шага 3 достигается, поэтому ответ — $200$ км. Без примера оценка «не больше $200$ » ещё не была бы ответом: нужно показать, что $200$ км действительно можно проехать.

График пути для поездки

100

км/ч — стоит —

100

км/ч: за первый час

100

км, второй час график горизонтальный, за третий час ещё

100

км. В каждой двойке часов проехано

100

км, то есть средняя

50

км/ч, а весь путь

200

км.

Проверка

Проверим другим способом — перебором поездок. Если во второй час проехано $d_2$ км, то первый и третий часы определены однозначно: $d_1 = d_3 = 100 - d_2$ и путь равен $200 - d_2$ При $d_2 = 50$ (ровная езда $50$ км/ч) получаем $150$ км, при $d_2 = 30$ — $170$ км, при $d_2 = 0$ — $200$ км. Перебор всех целых скоростей от $0$ до $150$ км/ч на каждый час (тест checks/rules/24d3-1-ride.test.mjs) подтверждает: обе средние равны $50$ км/ч ровно у поездок вида $(100 - d_2,\ d_2,\ 100 - d_2)$ , и наибольший путь $200$ км даёт только поездка $(100, 0, 100)$ Неравномерная езда внутри часа ничего не меняет: средняя скорость за два часа зависит только от суммы километров за эти часы — это проверено в том же тесте на разбиении часов на получасы.

Ответ

Наибольшее расстояние — $200$ км: первый и третий час мотоциклист едет по $100$ км/ч, а второй час стоит.

Ответ

Наибольшее расстояние — $200$ км: первый и третий час мотоциклист едет по $100$ км/ч, а второй час стоит.

Главная идея

Две средние скорости — это два равенства $d_1 + d_2 = 100$ и $d_2 + d_3 = 100$ с общим слагаемым $d_2$ Их сумма равна $200$ но второй час в ней учтён дважды, поэтому весь путь равен $200 - d_2$ и наибольший при $d_2 = 0$ чем меньше проехано в общий час двух промежутков, тем больше весь путь.

Признаки: несколько средних (скоростей, сумм, весов) заданы на перекрывающихся промежутках, а спрашивают про весь промежуток целиком. Приём: перевести каждую среднюю в сумму («средняя $50$ км/ч за $2$ ч — это $100$ км»), сложить суммы и посмотреть, что посчитано дважды; крайнее значение получается, когда общая часть наименьшая (или наибольшая), и к оценке обязательно нужен пример.

Где легко ошибиться

Решить, что раз обе средние равны $50$ км/ч, то и средняя за все три часа $50$ км/ч, и ответить $150$ км. Это верно только для ровной езды. Средние заданы на перекрывающихся двойках часов, и второй час можно «обнулить» — тогда за первый и третий часы придётся проехать по $100$ км, и путь вырастет до $200$ км. Другая ошибка — остановиться на оценке «не больше $200$ » без примера поездки, где $200$ км действительно набираются.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVI олимпиада, сезон 2023/24 · дистанционный этап, iii тур · дата тура не указана в файле заданий · математика · 8 класс. Официальная задача 1, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy проверен; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время (включая остановки)
Сложение равенств
Задачи «оценка и пример»

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →