Задача 4. Кубы против квадратов

Условие — это сумма пяти вкладов

Обозначим числа $a, b, c, d, e$. Условие: $a^3+b^3+c^3+d^3+e^3<a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$. Перенесём всё в левую часть и сгруппируем по числам:

Назовём разность $x^3-x^2$ вкладом числа $x$. Разложим её на множители: $x^3-x^2=x^2(x-1)$. Множитель $x^2$ положителен, значит знак вклада — это знак $x-1$: число больше $1$ прибавляет, число $1$ даёт ноль, число меньше $1$ вычитает.

Теперь условие читается так: пять вкладов в сумме отрицательны, то есть «минусы» чисел меньше $1$ перевешивают «плюсы» чисел больше $1$.

Зачем это нужно: вместо двух сумм у нас одна, и каждое число отвечает только за свой вклад — его можно оценить отдельно от остальных.

Сколько может вычесть одно число

Пусть $0<x<1$. Его вклад отрицателен; посмотрим, насколько: потеря равна $x^2-x^3=x^2(1-x)$. Оба множителя положительны и оба меньше $1$: $x^2<1$ и $1-x<1$. Поэтому

Если же $x\ge 1$, вклад $x^2(x-1)\ge 0$ — такое число не вычитает ничего.

Итог: каждое положительное число вычитает меньше $1$. На графике ниже это полоса от $-1$ до $0$: между $0$ и $1$ кривая вклада лишь чуть-чуть опускается ниже нуля и не доходит до $-1$.

Как это заметить: потеря — произведение двух множителей, каждый из которых меньше $1$. Произведение таких множителей тоже меньше $1$.

Число не меньше 2 прибавляет не меньше 4

Предположим противное: среди чисел есть $a\ge 2$. Тогда $a^2\ge 4$ и $a-1\ge 1$, оба множителя положительны, и

То есть одно такое число прибавляет к сумме вкладов не меньше $4$. На графике это точка $x=2$ с вкладом $4$ — кривая после $1$ растёт очень быстро.

Складываем — получаем противоречие

Сумма вкладов состоит из вклада числа $a$ и вкладов четырёх остальных чисел. Вклад $a$ не меньше $4$ (шаг 3), а каждое из остальных четырёх вычитает меньше $1$ (шаг 2), то есть вместе они вычитают меньше $4\cdot 1=4$. Значит, сумма вкладов больше $4-4=0$:

то есть сумма кубов больше суммы квадратов. Это противоречит условию. Значит, числа $a\ge 2$ среди пяти нет: каждое число меньше $2$, что и требовалось.

Где мы использовали, что чисел именно пять: кроме «большого» числа остаётся ровно четыре, и четыре потери меньше $4$ — ровно столько, сколько гарантирует число $2$. Запас здесь впритык.

Сверх условия: на самом деле каждое число меньше 4/3

Оценку потерь из шага 2 можно сделать точной. Проверим раскрытием скобок тождество

Справа:

. При $x>0$ правая часть не меньше нуля (квадрат, умноженный на положительное число), поэтому $x^2-x^3\le\frac{4}{27}$: одно число вычитает не больше $\frac{4}{27}\approx 0{,}148$, и ровно столько — при $x=\frac{2}{3}$. Это дно впадины на графике.

Теперь пусть $a\ge\frac{4}{3}$. Тогда $a^2\ge\frac{16}{9}$ и $a-1\ge\frac{1}{3}$, значит вклад $a^2(a-1)\ge\frac{16}{9}\cdot\frac{1}{3}=\frac{16}{27}$. А четыре остальных числа вычитают не больше $4\cdot\frac{4}{27}=\frac{16}{27}$. Сумма вкладов не меньше $\frac{16}{27}-\frac{16}{27}=0$, то есть сумма кубов не меньше суммы квадратов — условие нарушено. Итак, каждое число меньше $\frac{4}{3}$.

Лучше нельзя: набор $a, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ при любом $a<\frac{4}{3}$ подходит, так как сумма вкладов равна $a^2(a-1)-\frac{16}{27}<0$. Так что число $2$ в условии — оценка с запасом, а точная граница — $\frac{4}{3}$.