Задача 1. Семь камней на весах

«Любые шесть» — это семь взвешиваний

Пронумеруем камни от $1$ до $7$ и обозначим их веса $a_1, a_2, \ldots, a_7$, а общий вес всех семи — $S = a_1 + a_2 + \ldots + a_7$.

Что значит «любые шесть камней»? Шесть камней из семи — это все камни без одного. Убрали камень $1$ — осталось шесть камней, и весят они $S - a_1$. Убрали камень $2$ — остальные весят $S - a_2$. И так далее. Всего таких наборов семь: по одному на каждый убранный камень.

Условие задачи теперь читается так: все семь разностей $S - a_1$, $S - a_2$, …, $S - a_7$ меньше $6$ кг. Зачем это нужно: вместо расплывчатого «любые шесть» у нас семь конкретных взвешиваний, и каждое связано со своим убранным камнем. Обрати внимание: про то, что камни различные, мы ничего не используем — только про веса шестёрок.

Предположим, что все семь весят не меньше 7 кг

Нужно доказать, что $S < 7$ кг. Рассуждаем от противного: пусть это не так, то есть $S \geq 7$ кг.

Уберём любой камень, скажем камень $k$. По условию оставшиеся шесть весят меньше $6$ кг. Но убранный камень — это разность между общим весом и весом шести оставшихся: $a_k = S - (S - a_k)$. Из большого числа (не меньше $7$) вычитаем маленькое (меньше $6$): $a_k > 7 - 6 = 1$ кг (рисунок ниже).

Камень $k$ мы выбирали любой. Значит, каждый из семи камней весит больше $1$ кг.

Как до этого додуматься: убранный камень — разница между «всеми семью» и «шестью». Если «все семь» большие, а «шесть» маленькие, разница не может быть маленькой.

Противоречие: любые шесть весят больше 6 кг

Возьмём теперь любые шесть камней. Каждый из них, как мы выяснили, тяжелее $1$ кг, поэтому все шесть вместе тяжелее $6 \cdot 1 = 6$ кг. Но по условию любые шесть камней весят меньше $6$ кг. Получили противоречие.

Значит, наше предположение неверно: общий вес не может быть не меньше $7$ кг. Итак, $S < 7$ кг — что и требовалось доказать.

Что именно мы использовали: только условие про шестёрки — сначала чтобы получить «каждый камень больше $1$ кг», потом чтобы это опровергнуть. Ни различие камней, ни конкретные веса не понадобились.

Можно ли подойти к 7 кг вплотную

Доказано, что общий вес меньше $7$ кг. А нельзя ли доказать больше — например, что он меньше $6{,}9$ кг? Нет: граница $7$ кг точная.

Возьмём камни весом $996$, $997$, $998$, $999$, $1000$, $1001$, $1002$ г — все разные. Общий вес $S = 6993$ г. Самое тяжёлое из семи взвешиваний — без самого лёгкого камня: $6993 - 996 = 5997$ г, остальные ещё легче (рисунок ниже). Все семь меньше $6000$ г, условие выполнено, а общий вес лишь на $7$ г меньше $7$ кг.

Почему именно без самого лёгкого камня получается самое тяжёлое взвешивание: все семь взвешиваний равны $S$ минус вес камня, и чем легче убранный камень, тем больше разность. Поэтому, подбирая камни в модели, достаточно следить за одним взвешиванием — без самого лёгкого.

С точностью до грамма больше $6998$ г набрать нельзя. Проверим: самый лёгкий камень не тяжелее среднего веса $S/7$ — иначе все семь были бы тяжелее $S/7$ и вместе весили бы больше $S$. Поэтому взвешивание без него не меньше $S - S/7 = \frac{6S}{7}$, а оно по условию не больше $5999$ г. Отсюда $6S \leq 7 \cdot 5999 = 41993$, $S \leq 6998$ г. И $6998$ г действительно достижимы: шесть камней по $999$ г и один в $1004$ г — взвешивание без $999$-граммового камня равно $5999$ г.