Задача 3. Два равных треугольника внутри

Равные углы дают равные стороны: AK = AB

В треугольнике $ABK$ углы при вершинах $B$ и $K$ равны по условию: $\angle ABK = \angle BKA$. Треугольник, у которого два угла равны, равнобедренный, и против равных углов лежат равные стороны. Против угла $ABK$ лежит сторона $AK$, против угла $BKA$ — сторона $AB$. Значит, $AK = AB$.

Вместе с условием $AB = BC$ получаем три равных отрезка: $AK = AB = BC$. Обозначим равные углы при основании треугольника $ABC$ буквой $\alpha$: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$, а равные углы треугольника $ABK$ — буквой $\beta$: $\angle ABK = \angle BKA = \beta$.

Что это даёт: точка $K$ лежит на стороне $AC$ на расстоянии $AB$ от $A$. Поэтому $AC = AK + KC = AB + KC$, и вся задача свелась к одному вопросу — чему равен кусок $KC$. Нам нужно $AC = \frac{3}{2}AB$, то есть $KC = \frac{1}{2}AB$. Половина $AB$ на рисунке уже есть — это $AM$. Будем искать, почему $KC = AM$.

Точка $K$ не может совпасть с $A$: угол $BKA$ тогда не определён. Не может совпасть и с $C$: из $AK=AB$ получилось бы $AC=AB=BC$, то есть равносторонний треугольник. Его медиана $CM$ — высота, и $CM^2=CB^2-BM^2<CB^2$, что противоречит $KM=KB$. Значит, $K$ лежит строго внутри $AC$; дальше можно использовать невырожденный треугольник $BKC$.

Что даёт KB = KM

Треугольник $KMB$ равнобедренный: $KM = KB$, его основание — $MB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle KMB = \angle KBM$.

Но угол $KBM$ — это тот же самый угол $ABK$: точка $M$ лежит на стороне $BA$, поэтому лучи $BM$ и $BA$ совпадают. Значит, $\angle KBM = \beta$, и тогда $\angle KMB = \beta$.

Как это заметить: каждое равенство отрезков в условии нужно «обменять» на равенство углов, а каждое равенство углов — на равенство отрезков. Условие $KB = KM$ ещё не использовано, и единственное, что оно даёт сразу, — равные углы при $M$ и $B$.

Внешний угол: находим ∠AKM и ∠CBK

Угол $KMB$ — внешний угол треугольника $AMK$ при вершине $M$ (он смежный с углом $AMK$). Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

откуда $\angle AKM = \beta - \alpha$.

Точно так же угол $BKA$ — внешний угол треугольника $BKC$ при вершине $K$ (он смежный с углом $BKC$):

откуда $\angle CBK = \beta - \alpha$.

Итак, $\angle AKM = \angle CBK$. Оба угла равны $\beta - \alpha$, и это положительное число: это углы настоящих треугольников $AMK$ и $BKC$.

Зачем мы считали именно эти углы: у треугольников $AKM$ и $CBK$ уже есть по две равные стороны — $AK = CB$ (шаг 1) и $KM = BK$ (условие). Чтобы применить признак равенства, нужны углы между этими сторонами: в треугольнике $AKM$ это угол $AKM$, в треугольнике $CBK$ — угол $CBK$.

Треугольники AKM и CBK равны

Сравним треугольники $AKM$ и $CBK$ (на рисунке — голубой и жёлтый):

• $AK = CB$ — шаг 1;

• $KM = BK$ — условие;

• $\angle AKM = \angle CBK$ — шаг 3, и это как раз углы между названными сторонами.

По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) $\triangle AKM = \triangle CBK$. Вершины соответствуют так: $A \leftrightarrow C$, $K \leftrightarrow B$, $M \leftrightarrow K$.

В равных треугольниках равны и оставшиеся стороны: $AM$ лежит против угла $AKM$, а $CK$ — против угла $CBK$. Значит, $CK = AM$. А $AM$ — половина $AB$, потому что $M$ — середина. Итак, $KC = \frac{1}{2}AB$ — именно то, что мы искали в конце шага 1.

Складываем отрезки

Точка $K$ лежит на стороне $AC$, поэтому $AC = AK + KC$. Подставим найденное: $AK = AB$ (шаг 1) и $KC = \frac{1}{2}AB$ (шаг 4):

Умножим обе части на $2$: $2AC = 3AB$. Что и требовалось доказать.

Проверим смысл: $AC = 1{,}5 \cdot AB$ — больше $AB$, так что точка $K$ (на расстоянии $AB$ от $A$) действительно помещается на стороне $AC$, и меньше $2AB$, так что треугольник со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ существует.