Математика · 2024/25 · Заключительный этап

Симметричное выражение через коэффициенты многочлена

Условие

Пусть a,b,ca,b,c — корни многочлена P(x)=x3+x2−2x−1P(x)=x^3+x^2-2x-1. Найдите a2b2+a2c2+b2c2a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2.

О задаче · 10 класс · 12 баллов
Олимпиада
Шаг в будущее
Предмет / класс
Математика · 10 класс
Сезон / этап
2024/25 · Заключительный этап
Комплект
Вариант 1 · задача 1
Официальные баллы12 балловСумма максимумов по критериям: 100.
Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Воспользуйтесь формулами Виета: выразите a+b+ca+b+c, ab+ac+bcab+ac+bc и abcabc через коэффициенты многочлена. Их можно получить простым раскрытием (x−a)(x−b)(x−c)(x-a)(x-b)(x-c).

Напомнить формулы Виета

Если a,b,ca,b,c — корни приведённого многочлена x3+px2+qx+rx^3+px^2+qx+r, то

a+b+c=−p,ab+ac+bc=q,abc=−r.a+b+c=-p,\qquad ab+ac+bc=q,\qquad abc=-r.

Знаки объясняются раскрытием произведения (x−a)(x−b)(x−c)(x-a)(x-b)(x-c); этот вывод показан в первом шаге решения.

Подсказка 2

Раскройте квадрат (ab+ac+bc)2(ab+ac+bc)^2. Все перекрёстные произведения содержат множитель abcabc.

Разобрать решение по шагам
01

Возьмём информацию о корнях из коэффициентов

Искомая сумма не меняется при перестановке a,b,ca,b,c. Значит, полезно искать суммы корней и их произведения, а не каждый корень отдельно. Формулы Виета как раз связывают такие суммы с коэффициентами. Раскроем произведение и увидим знаки:

(x−a)(x−b)(x−c)=x3−(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x−abc.\begin{aligned} (x-a)(x-b)(x-c) &=x^3-(a+b+c)x^2\\[0.45em] &\quad +(ab+ac+bc)x-abc. \end{aligned}

Сравниваем с x3+x2−2x−1x^3+x^2-2x-1:

a+b+c=−1,ab+ac+bc=−2,abc=1.a+b+c=-1,\qquad ab+ac+bc=-2,\qquad abc=1.
02

Получим нужные квадраты, сохранив перекрёстные члены

Обозначим искомую сумму через S=a2b2+a2c2+b2c2S=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2. В известном выражении ab+ac+bcab+ac+bc уже есть те множители, чьи квадраты нам нужны. Поэтому возведём его в квадрат:

(ab+ac+bc)2=S+2a2bc+2ab2c+2abc2=S+2abc(a+b+c).\begin{aligned} (ab+ac+bc)^2 &=S+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\\[0.45em] &=S+2abc(a+b+c). \end{aligned}

Последний переход — вынесение общего множителя 2abc2abc. Перенесём добавку вправо и подставим значения Виета:

S=(ab+ac+bc)2−2abc(a+b+c)=(−2)2−2⋅1⋅(−1)=4+2=6.\begin{aligned} S&=(ab+ac+bc)^2-2abc(a+b+c)\\[0.3em] &=(-2)^2-2\cdot1\cdot(-1)\\[0.45em] &=4+2=6. \end{aligned}

Мы получили значение суммы, не вычисляя сами корни.

Ответ

66.

Главная идея

Отдельные корни искать не нужно: достаточно соотношений Виета.

Как заметить эту идею в другой задаче

Выражение не меняется при перестановке корней многочлена. Ищите в нём суммы корней, попарные произведения и произведение всех корней.

Возможная ошибка

Перекрёстные члены квадрата суммы произведений нельзя отбросить. У них общий множитель — произведение всех трёх корней.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2024/25 · математика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Сохранены проверка и процедурные замечания исходного пилота. Ответ сопоставлен с официальным материалом; перенос страницы не является новой независимой экспертизой доказательства.

Примечания к источнику

В исходном problems.json наличие официальных материалов для задачи не было установлено. В пилоте решение и ответ найдены на странице 3 того же оригинального PDF; исходный problems.json не изменён.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Преобразования выражений →
Тема, знания и приёмы

Преобразования выражений · Нужна школьная база

  • Формулы Виета для кубического многочлена (напоминание на странице)
  • Квадрат суммы
  • Вынесение общего множителя

Приёмы решения: Теорема Виета

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема