Шаг в будущее 2023/24 · Физика · 8 кл., №3 — решение · финал

Условие

После проведения в школе фестиваля занимательной физики у преподавателей осталось много абсолютно одинаковых конструкторов. В каждом из них, помимо прочего оборудования, находилось по несколько пружин с одинаковой жесткостью и длиной. Забавы ради, они решили собрать из этих пружин следующую конструкцию. Одну пружину прикрепили к крюку на потолке, затем к этой пружине была прикреплена доска и к этой доске – уже две параллельные пружины. Таким образом, увеличивая в каждом ряду количество пружин в два раза, добились того, что последним шел ряд из 32 пружин. Его прикрепили к последней доске и стали вертикально растягивать всю конструкцию с некой силой. Определите, на сколько сможет сместиться край растягиваемой конструкции, если весом всех досок и пружин можно пренебречь, а все доски в процессе растяжения оставались строго параллельны друг другу? Известно, что отношение растягивающей силы к жесткости одной пружины равняется $\alpha=32\,\text{см}$

Каждый прямоугольник обозначает целый ряд параллельных пружин.

Одна пружина имеет жёсткость $k$ Общая сила — $F$ а $\alpha=\frac{F}{k}=32\,\text{см}$ .

О задаче · 8 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Проверить на модели

Как складываются удлинения?

Потяни всю систему. Сравни удлинение одного ряда и перемещение доски под ним.

Доля заданной силы

\lambda=\frac{F}{F_0}

Статичный режим

Начальное состояние. Управление станет доступно после загрузки страницы.

Нижняя доска: 0 см. Общая сила: 0 от F₀.

Через каждый ряд передаётся общая сила $F$ Внутри ряда она делится между одинаковыми пружинами.

\Delta l_n=\frac{32\lambda}{n}\,\text{см},\qquad\Delta L=63\lambda\,\text{см}.

Квазистатическое растяжение: колебания не моделируются. Длины до растяжения условные; удлинения и накопленные смещения показаны в одном масштабе. F₀ — сила из условия, отдельное значение в ньютонах неизвестно.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Начните с одного ряда: во сколько раз меньше растянется каждая пружина, если вместо одной их две?

Подсказка 2

Разберите ряд из двух пружин: как делится общая сила и насколько удлиняется весь ряд? Затем сложите удлинения рядов, расположенных друг под другом.

Разобрать решение по шагам

Начнём с одной пружины

Обозначим приложенную в задаче силу через $F_0$ жёсткость каждой пружины — через $k$ Одна верхняя пружина передаёт всю силу. По закону Гука её удлинение равно $\frac{F_0}{k}=32\,\text{см}$ .

Почему ниже действует та же общая сила? Каждая доска невесома и находится в равновесии: сколько её тянут вниз, столько должны тянуть вверх. Поэтому через любой ряд передаётся одна и та же суммарная сила $F_0$

Две пружины делят силу, четыре — тоже

В ряду из двух одинаковых пружин каждая растягивается одинаково: доски остаются параллельными. Одинаковые удлинения дают одинаковые силы, так что на каждую приходится $\frac{F_0}{2}$ Каждая удлинится на $\frac{F_0}{2k}=16\,\text{см}$ . Сам ряд тоже удлинится на $16\,\text{см}$ пружины стоят рядом, а не одна под другой.

В ряду из четырёх пружин на каждую приходится $\frac{F_0}{4}$ а удлинение ряда равно $8\,\text{см}$ Так продолжаем до последнего ряда.

Пружин в ряду	Удлинение ряда	Смещение доски под рядом
$1$	$32\,\text{см}$	$32\,\text{см}$
$2$	$16\,\text{см}$	$48\,\text{см}$
$4$	$8\,\text{см}$	$56\,\text{см}$
$8$	$4\,\text{см}$	$60\,\text{см}$
$16$	$2\,\text{см}$	$62\,\text{см}$
$32$	$1\,\text{см}$	$63\,\text{см}$

Через все ряды передаётся одна общая сила; удлинения рядов складываются.

В ряду из $n$ пружин $\Delta l_n=\frac{F}{nk}$ Индекс у $\Delta l_n$ означает число пружин в ряду: $1,2,4,8,16,32$ Общее смещение — $\Delta L$

Сложим удлинения, а не силы

Нижняя доска опускается из-за растяжения каждого ряда над ней. Поэтому её смещение равно сумме всех удлинений:

\Delta L=(32+16+8+4+2+1)\,\text{см}=63\,\text{см}.

Число $1\,\text{см}$ относится только к последнему ряду; последняя доска перемещается на $63\,\text{см}$

Общая запись после примеров

Для ряда из $n$ одинаковых пружин $F_0=nk\Delta l_n$ откуда $\Delta l_n=\frac{F_0}{nk}$ . При изменении силы в $\lambda=\frac{F}{F_0}$ раз все удлинения и смещения умножаются на $\lambda$ Это квазистатическое сравнение равновесий, а не описание колебаний.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$63\,\text{см}$

Главная идея

Через каждый ряд передаётся одна и та же общая сила, но внутри ряда она делится между одинаковыми пружинами.

Как заметить эту идею в другой задаче

Конструкция состоит из последовательных рядов одинаковых параллельных элементов. Сначала разберите один ряд, затем объедините ряды.

Возможная ошибка

Усилия в параллельных пружинах делятся, а удлинения последовательных рядов складываются. Нельзя складывать жёсткости всей конструкции как одного параллельного ряда.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2023/24 · физика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Сохранены проверка и процедурные замечания исходного пилота. Ответ сопоставлен с официальным материалом; перенос страницы не является новой независимой экспертизой доказательства.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Пружина под подвижным блоком →

Шаг в будущее · № 4

Сложность 2/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Равновесие и моменты →

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Закон Гука
Равновесие сил

Приёмы решения: Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →