Математика · 2023/24 · Отборочный этап

Когда сумма достигает своего предела

Условие

Вычислить x+2y2−z2x+2y^2-z^2, где x,y,zx,y,z — числа, удовлетворяющие соотношению: x2−x2+y1−y2+z4−z2=3,5x\sqrt{2-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{4-z^2}=3{,}5.

О задаче · 10 класс · 9 баллов
Олимпиада
Шаг в будущее
Предмет / класс
Математика · 10 класс
Сезон / этап
2023/24 · Отборочный этап
Комплект
Вариант 1 · задача 1
Официальные баллы9 балловСумма максимумов по критериям: 100.
Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Из (u−v)2≥0(u-v)^2\ge0 следует uv≤u2+v22uv\le\frac{u^2+v^2}{2}.

Подсказка 2

Примените оценку к парам x,2−x2x,\sqrt{2-x^2}; y,1−y2y,\sqrt{1-y^2}; z,4−z2z,\sqrt{4-z^2}. Когда во всех трёх оценках достигается равенство?

Разобрать решение по шагам
01

Поищем верхнюю границу каждого слагаемого

Под корнями должны стоять неотрицательные числа, поэтому ∣x∣≤2|x|\le\sqrt2, ∣y∣≤1|y|\le1, ∣z∣≤2|z|\le2. В произведении x2−x2x\sqrt{2-x^2} квадраты двух множителей в сумме дают постоянное число 22. Это подсказывает оценку произведения через сумму квадратов. Из неотрицательности квадрата получаем

(u−v)2≥0,u2−2uv+v2≥0,uv≤u2+v22.\begin{aligned} (u-v)^2&\ge0,\\[0.45em] u^2-2uv+v^2&\ge0,\\[0.45em] uv&\le\frac{u^2+v^2}{2}. \end{aligned}

Равенство возможно ровно при u=vu=v.

02

Подставим множители в оценку

Для первого слагаемого возьмём u=xu=x, v=2−x2v=\sqrt{2-x^2}:

x2−x2≤x2+(2−x2)22=x2+2−x22=1.\begin{aligned} x\sqrt{2-x^2} &\le\frac{x^2+(\sqrt{2-x^2})^2}{2}\\[0.4em] &=\frac{x^2+2-x^2}{2}=1. \end{aligned}

Точно так же подставляем u=yu=y, v=1−y2v=\sqrt{1-y^2} и затем u=zu=z, v=4−z2v=\sqrt{4-z^2}:

y1−y2≤y2+1−y22=12,z4−z2≤z2+4−z22=2.\begin{aligned} y\sqrt{1-y^2}&\le\frac{y^2+1-y^2}{2}=\frac12,\\[0.4em] z\sqrt{4-z^2}&\le\frac{z^2+4-z^2}{2}=2. \end{aligned}
03

Почему в каждой оценке обязательно равенство

Сумма найденных границ равна 1+12+2=72=3,51+\frac12+2=\frac72=3{,}5 — ровно значению из условия. Если хотя бы одно слагаемое меньше своей границы, остальные не могут возместить недостающее: они тоже не превышают собственных границ. Поэтому все три оценки одновременно обращаются в равенства:

x=2−x2,y=1−y2,z=4−z2.x=\sqrt{2-x^2},\qquad y=\sqrt{1-y^2},\qquad z=\sqrt{4-z^2}.
04

Восстановим значения и вычислим выражение

Правые части этих равенств неотрицательны, значит, x,y,z≥0x,y,z\ge0. Возведём в квадрат, сохраняя это ограничение:

x2=2−x2 ⟹ x2=1 ⟹ x=1,y2=1−y2 ⟹ y2=12 ⟹ y=12,z2=4−z2 ⟹ z2=2 ⟹ z=2.\begin{aligned} x^2=2-x^2&\ \Longrightarrow\ x^2=1\ \Longrightarrow\ x=1,\\[0.3em] y^2=1-y^2&\ \Longrightarrow\ y^2=\frac12\ \Longrightarrow\ y=\frac1{\sqrt2},\\[0.4em] z^2=4-z^2&\ \Longrightarrow\ z^2=2\ \Longrightarrow\ z=\sqrt2. \end{aligned}

Отрицательные значения не подходят исходным равенствам с корнями. Теперь

x+2y2−z2=1+2⋅12−2=0.x+2y^2-z^2=1+2\cdot\frac12-2=0.
Ответ

00.

Главная идея

Каждое слагаемое имеет простой верхний предел. Их сумма в условии равна сумме всех этих пределов.

Как заметить эту идею в другой задаче

Сумма произведений равна сумме их возможных максимумов. Попробуйте ограничить каждое слагаемое отдельно и проверить условия равенства.

Возможная ошибка

После возведения равенств с корнями в квадрат легко добавить отрицательные значения. Равенство с неотрицательным корнем определяет также знак.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2023/24 · математика · 10 класс · отборочный этап · вариант 1.

Сохранены проверка и процедурные замечания исходного пилота. Ответ сопоставлен с официальным материалом; перенос страницы не является новой независимой экспертизой доказательства.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Неравенства и экстремумы →
Тема, знания и приёмы

Неравенства и экстремумы · Нужна школьная база

  • Квадрат действительного числа
  • Квадратные корни и область определения
  • Неравенства

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема