Задача 3. Два остатка Кости

Что значат два остатка

Обозначим четырёхзначное число буквой $N$. Разделить с остатком — значит вычесть делитель столько раз, сколько можно, и посмотреть, сколько осталось. Поэтому остаток всегда меньше делителя.

«При делении на $x^2$ остаток $142$» значит, что

для некоторого целого $q \ge 0$, и при этом $142 < x^2$.

«При делении на $x$ остаток $24$» значит, что $N = p\cdot x + 24$ для некоторого целого $p$, и $24 < x$. Запомним: $x$ не меньше $25$.

Удобно представить себе $N$ конфет. Их раскладывают в квадратные коробки — $x$ рядов по $x$ конфет, в коробке $x^2$ конфет, — и в неполной коробке остаётся $142$. А если те же конфеты разложить в пакетики по $x$ штук, без пакетика останется $24$.

Остаток от деления на $x$ спрятан в числе $142$

Как связаны два деления? Каждая полная коробка — это $x$ рядов по $x$ конфет, то есть ровно $x$ пакетиков, без остатка. В числах: $q\cdot x^2 = (q\cdot x)\cdot x$ делится на $x$.

Значит, полные коробки раскладываются по пакетикам нацело, и остаток зависит только от $142$ конфет неполной коробки. Разделим $142$ на $x$ с остатком: $142 = c\cdot x + r$, где $0 \le r < x$. Тогда

и так как $r < x$, остаток от деления $N$ на $x$ равен $r$ — тому же, что у $142$.

Например, при $x = 30$: $1042 = 900 + 142$ и $142 = 4\cdot 30 + 22$, поэтому $1042 = 34\cdot 30 + 22$ — остаток $22$, как у $142$.

По условию остаток от деления $N$ на $x$ равен $24$. Значит, $142$ при делении на $x$ тоже даёт остаток $24$:

Какими могут быть $x$

Из равенства $142 = c\cdot x + 24$ получаем

Здесь $c$ — целое число, и $c \ge 1$, потому что $118 > 0$. Кроме того, $x \ge 25$ (шаг 1), поэтому $c$ не больше $4$: уже $5\cdot 25 = 125$ больше $118$. Переберём все случаи:

• $c = 1$: $x = 118$;
• $c = 2$: $x = 59$;
• $c = 3$: $118$ не делится на $3$ нацело ($3\cdot 39 = 117$);
• $c = 4$: $118$ не делится на $4$ нацело ($4\cdot 29 = 116$).

Остались два кандидата: $x = 59$ и $x = 118$. Оба больше $24$, и у обоих $x^2$ больше $142$. Осталось проверить последнее условие: число должно быть четырёхзначным.

$x = 118$ не подходит

$118^2 = 13\,924$ — пятизначное число, а $N \le 9999$. Значит, $N$ меньше $x^2$: в $N$ не помещается ни одной полной коробки ($q = 0$), и остаток от деления $N$ на $13\,924$ — это само $N$.

Но этот остаток должен быть равен $142$, то есть $N = 142$ — а это трёхзначное число, не четырёхзначное. Противоречие.

Оба остатка при $x = 118$ получаются, например, у чисел $142$ и $14\,066 = 13\,924 + 142$, но четырёхзначных среди таких чисел нет: $142$ слишком мало, а следующее, $14\,066$, уже пятизначное.

$x = 59$ подходит

$59^2 = 3481$. Возьмём одну полную коробку и $142$ конфеты сверху:

Это четырёхзначное число. При делении на $3481$ остаток $142$: так мы его и строили, и $142 < 3481$. При делении на $59$: $59\cdot 61 = 3599$, поэтому

остаток $24$. Значит, $x = 59$ возможно.

Ответ: $x = 59$.

Второй вариант

Рассуждение то же, меняются только числа. Остаток меньше делителя, поэтому $x > 18$ и $x^2 > 140$. Число равно $q\cdot x^2 + 140$, а $q\cdot x^2$ делится на $x$, поэтому при делении на $x$ оно даёт тот же остаток, что и $140$. Значит, $140 = c\cdot x + 18$, то есть

Так как $x \ge 19$, то $c \le 6$: уже $7\cdot 19 = 133$ больше $122$. Перебираем: при $c = 1$ получаем $x = 122$, при $c = 2$ — $x = 61$, а при $c = 3, 4, 5, 6$ число $122$ нацело не делится: $122 = 3\cdot 40 + 2 = 4\cdot 30 + 2 = 5\cdot 24 + 2 = 6\cdot 20 + 2$.

$x = 122$ не подходит: $122^2 = 14\,884 > 9999$, поэтому остаток четырёхзначного числа при делении на $x^2$ — само это число, а он должен быть $140$ — не четырёхзначное.

$x = 61$ подходит: $61^2 = 3721$, $N = 3721 + 140 = 3861$ — четырёхзначное, и $3861 = 61\cdot 63 + 18$, ведь $61\cdot 63 = 3843$. Подходит и $7582 = 2\cdot 3721 + 140 = 61\cdot 124 + 18$.

Ответ: $x = 61$.