Математика · 6 класс · районный тур

Богатырь И. Муромец рубится с З. Горынычем, у которого $444$ головы. Одним взмахом меча он может отсечь змею одну голову или сразу $10$ голов (конечно, если их было не меньше $10$). Однако, если после отсечения осталось чётное число голов, то число голов сразу же удваивается. Приведите пример, как может действовать богатырь, чтобы отрубить З. Горынычу все его головы.

В ряд стоят $12$ рыцарей и $12$ лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Каждый произнёс либо фразу «Слева от меня чётное число человек», либо фразу «Слева от меня нечётное число человек». Могло ли оказаться, что всего было произнесено $17$ фраз одного типа и $7$ другого? Не забудьте обосновать свой ответ.

Костя задумал натуральное число $x$ и обнаружил, что некоторое четырехзначное число при делении на $x$ дает остаток $24$, а при делении на $x^2$ дает остаток 142. Найдите все возможные значения, которые может принимать $x$. Не забудьте обосновать свой ответ.

Клетки горизонтальной полоски $1\times 100$ пронумерованы слева направо числами от $1$ до $100$. В клетках с $1$-й по $10$-ю живет по одному кузнечику. Энтомолог Вася и кузнечики играют в игру: сначала ходит Вася, потом кузнечики, затем снова Вася, и т. д. За один ход Вася может перенести одного из кузнечиков вправо не дальше чем на $6$ клеток. На своем ходу все кузнечики, находящиеся не в своем доме, перепрыгивают в соседнюю слева клетку. Докажите, что Вася не сможет собрать кузнечиков (в каком-то порядке) в клетках $50,\ 51,\ \ldots,\ 59$. В процессе игры разрешается нескольким кузнечикам находиться в одной клетке.