Задача 1. Два шоссе и 250 рублей

Важно только, сколько километров по каждому шоссе

Маршрут Миши может много раз переходить с шоссе на шоссе. Но время и деньги складываются из кусочков: каждый километр по скоростному шоссе занимает одно и то же время и стоит одних и тех же денег, где бы он ни был. Поэтому обозначим через $a$ число километров, проеханных по скоростному шоссе за всю поездку, а через $b$ — по обычному.

Тогда стоимость поездки равна $3a + b$ рублей, а время — не меньше чем

(ровно столько, если ехать с наибольшей скоростью; медленнее — только дольше).

Чтобы добраться до Палкина, надо продвинуться на $100$ км, поэтому $a + b \geq 100$. Обычно $a + b = 100$, а больше получится, только если Миша делает лишние километры — объезжает или едет назад. Порядок участков и число переходов ни на время, ни на стоимость не влияют.

Обмен: километр на скоростном шоссе

Начнём с самой простой поездки — целиком по обычному шоссе: $100$ км по $100$ км/ч — это $1$ час, и $100$ рублей. Денег хватает с запасом: остаётся $150$ рублей. Как потратить их с пользой?

Переведём один километр с обычного шоссе на скоростное. Один километр по обычному шоссе занимает $\frac{1}{100}$ ч $= 36$ с, по скоростному — $\frac{1}{150}$ ч $= 24$ с (в часе $3600$ секунд: $3600 : 100 = 36$, $3600 : 150 = 24$). Значит, каждый такой километр

• стоит на $3 - 1 = 2$ рубля дороже;

• экономит $36 - 24 = 12$ секунд.

Зачем это нужно: теперь вся задача — про обмен денег на время по одному и тому же курсу «$2$ рубля за $12$ секунд». Чем больше километров по скоростному шоссе, тем быстрее поездка, но тем она дороже (рисунок ниже).

Оценка: быстрее 45 минут нельзя

Сначала поймём, сколько километров можно проехать по скоростному шоссе. Так как $a + b \geq 100$, по обычному шоссе проехано $b \geq 100 - a$ км. Тогда стоимость $3a + b$ не меньше

Денег $250$ рублей, поэтому $100 + 2a \leq 250$, то есть $2a \leq 150$ и $a \leq 75$. Это ровно то, что говорит обмен: лишние $150$ рублей покрывают не больше $150 : 2 = 75$ км по скоростному шоссе.

Теперь время. Переведём его в минуты: $1$ км по скоростному — $24$ с $= 0{,}4$ мин, по обычному — $36$ с $= 0{,}6$ мин. Время поездки не меньше $0{,}4a + 0{,}6b$ минут, а так как $b \geq 100 - a$, оно не меньше

Здесь $0{,}2$ мин $= 12$ с — та самая экономия на одном километре. Чем больше $a$, тем меньше $60 - 0{,}2a$, а $a \leq 75$, поэтому время не меньше

Оценка учитывает любые маршруты: с переходами в любых местах, с лишними километрами и с ездой медленнее разрешённого.

Пример: 45 минут достигаются

Пусть Миша проедет первые $75$ км по скоростному шоссе, а затем перейдёт на обычное и проедет по нему последние $25$ км.

Время: $75 : 150 = \frac{1}{2}$ ч $= 30$ мин и $25 : 100 = \frac{1}{4}$ ч $= 15$ мин, всего $45$ мин.

Деньги: $3 \cdot 75 = 225$ рублей и $1 \cdot 25 = 25$ рублей, всего ровно $250$ рублей — денег хватает (рисунок ниже).

Оценка из шага 3 достигается, поэтому наименьшее время — $45$ минут. Где именно ехать по скоростному шоссе — в начале, в конце или кусками, — неважно: важно лишь, что по нему проехано $75$ км.