Математика · 8 класс · Дистанционный этап, III тур

Скоростное шоссе, по которому можно ехать со скоростью $150$ км/ч, идет параллельно обычному, по которому можно ехать со скоростью $100$ км/ч. Проехать $1$ км по скоростному шоссе стоит $3$ рубля, а по обычному — $1$ рубль. Мише надо проехать из Ёлкина в Палкино, до которого $100$ км. У него есть $250$ рублей. За какое наименьшее время он может добраться до Палкина? Считаем, что разгон, торможение и переход с одного шоссе на другое происходят мгновенно.

Сумма двадцати чисел равна $0$. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных.

При каких $n$, больших $2$, можно расставить в клетках таблицы размером $n\times n$ крестики и нолики (в каждой клетке — один знак) так, чтобы в каждом столбце таблицы, кроме одного, крестиков было больше, чем ноликов, а в каждой строке таблицы, кроме одной, ноликов было больше, чем крестиков?

Есть две кучки по $11$ монет в каждой. Известно, что в каждой кучке $10$ настоящих монет и одна фальшивая, которая легче настоящей. Все настоящие монеты весят одинаково, обе фальшивые — тоже. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах гарантированно найти не менее $8$ настоящих монет?

Сторона $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ видна из середины $M$ его стороны $AD$ под углом $90^\circ$. Биссектрисы треугольника $BMC$ пересекаются в точке $I$. Известно, что $\angle ABM = \angle MIC$ и $\angle BIM = \angle MCD$. Докажите, что $AI = DI$.