Задача 3. Трапеция с вершиной на гипотенузе

Рисунок и план

У равнобедренного треугольника $ADE$ основание $AE$, значит, равны боковые стороны $DA = DE$ и углы при основании $A$ и $E$. Два равных угла треугольника не могут быть прямыми, поэтому прямой угол — при вершине $D$, а углы при основании вместе дают $90^\circ$:

У трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, а боковые стороны равны: $AB = CD$. Удобно нарисовать $AD$ горизонтально внизу и $E$ над $D$. Тогда $C$ лежит на наклонной стороне $AE$, а $B$ — на той же высоте левее $C$.

Где может быть $C$: только в половине $AE$, ближней к $E$. Если взять $C$ ближе к $A$, то $B$ окажется правее $C$, стороны $AB$ и $CD$ пересекутся, и трапеции не получится; в середине $AE$ точки $B$ и $C$ совпадут. Доказательство ниже от положения $C$ не зависит.

Нужно доказать, что прямые $CD$ и $BE$ перпендикулярны. Напрямую этот угол не посчитать: $CD$ и $BE$ не стороны одного удобного треугольника. План такой: найти на рисунке прямые углы, которые легко доказать, и понять, как они связаны с нужным.

Диагональ BD тоже идёт под углом 45°

Точка $C$ лежит на отрезке $AE$, поэтому луч $AC$ совпадает с лучом $AE$ и

Равнобедренная трапеция симметрична, и диагональ $BD$ — зеркальная копия диагонали $CA$. Значит, она должна образовать с основанием $AD$ такой же угол. Докажем это без ссылки на рисунок.

Сравним треугольники $BAD$ и $CDA$:

• $AB = DC$ — боковые стороны трапеции;

• $AD$ — общая сторона;

• $\angle BAD = \angle CDA$ — углы при основании равнобедренной трапеции.

По двум сторонам и углу между ними $\triangle BAD = \triangle CDA$, вершины соответствуют так: $B \leftrightarrow C$, $A \leftrightarrow D$, $D \leftrightarrow A$. Поэтому угол $BDA$ равен углу $CAD$:

Два прямых угла: AC ⊥ BD и BC ⊥ DE

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. В треугольнике $AOD$ два угла уже известны: $\angle OAD = 45^\circ$ и $\angle ODA = 45^\circ$. По сумме углов треугольника

Значит, диагонали трапеции перпендикулярны: прямая $AE$ (на ней лежит $AC$) перпендикулярна прямой $BD$.

Второй прямой угол даёт параллельность. Прямая $AD$ перпендикулярна $DE$ — это прямой угол треугольника $ADE$. Прямая $BC$ параллельна $AD$, а прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Поэтому $BC \perp DE$. Продолжим $BC$ за точку $C$ до пересечения с $DE$ в точке $K$: $\angle CKD = 90^\circ$.

Заметь: обе найденные прямые, $AE$ и $BC$, проходят через точку $C$.

Треугольник BDE: C — пересечение двух его высот

Посмотрим, к каким прямым перпендикулярны наши прямые через $C$: $BC \perp DE$ и $AE \perp BD$. Отрезки $DE$ и $BD$ — две стороны треугольника $BDE$, а его третья сторона $BE$ — как раз прямая из условия. Это подсказка: работать надо с треугольником $BDE$.

Высота треугольника — это перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

• Прямая $BC$ проходит через вершину $B$ и перпендикулярна противоположной стороне $DE$. Значит, на ней лежит высота треугольника $BDE$ из вершины $B$ — это $BK$.

• Прямая $AE$ проходит через вершину $E$ и перпендикулярна противоположной стороне $BD$. Значит, на ней лежит высота из вершины $E$ — это $EO$.

Обе эти прямые проходят через $C$. Итак, $C$ — точка пересечения двух высот треугольника $BDE$.

Третья высота проходит через C: CD ⊥ BE

Три высоты любого треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Две высоты треугольника $BDE$ пересекаются в $C$, поэтому и третья высота — из вершины $D$ на сторону $BE$ — проходит через $C$.

Точки $D$ и $C$ различны, а через две точки проходит только одна прямая. Значит, высота из $D$ лежит на прямой $DC$, то есть прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BE$. Если $P$ — точка пересечения $DC$ и $BE$, то $\angle DPE = 90^\circ$. Что и требовалось доказать.

Мы пользовались только углами по $45^\circ$, параллельностью $BC \parallel AD$ и теоремой о высотах. Всё это верно при любом положении $C$ на $AE$, при котором трапеция существует, поэтому вывод не зависит от рисунка.