Математика · 8 класс · Дистанционный этап, I тур

Квантовый компьютер расходует $1$ кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ можно найти сумму $ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de$, затратив не более $10$ кВт/ч.

Дано натуральное число $n$. $n$-операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на $n$. При каких натуральных $n$, больших $1$, из каждого натурального числа за несколько $n$-операций получается число, кратное $n$?

Вершина $C$ равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) лежит на основании $AE$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$. Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BE$.

При каком наименьшем $k$ на числовой прямой можно отметить $k$ точек таким образом, чтобы для каждого натурального числа $n$ от $1$ до $100$ нашлись две отмеченные точки, расстояние между которыми равно $2^n$?

В белой таблице размером $100\times 100$ клеток окрашено в красный цвет $N$ ($N > 0$) клеток таким образом, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки таблицы, делится на $3$. Чему может быть равно $N$?