Двое песочных часов и точный срок — разбор задачи

Условие

Есть исправные песочные часы на $7$ и на $11$ минут. Песок течёт с постоянной скоростью; переворот мгновенный. В момент начала оба верхних резервуара полны, оба нижних пусты. Можно запускать и переворачивать часы, а также замечать моменты полного опустошения верхнего резервуара. Отметок для измерения количества песка нет. Как отмерить ровно $15$ минут от момента одновременного запуска обоих часов?

О задаче · Подростки и взрослые

Тема: Алгоритмы
Для кого: Подростки и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Переверните семиминутные часы, когда они впервые закончатся.

Подсказка 2

Сколько песка успеет перейти в нижнюю часть этих часов к моменту $11$ минут?

Разобрать решение по шагам

Запустите оба отсчёта

В момент $0$ запускаем оба прибора. Когда короткие часы опустеют, пройдёт ровно $7$ минут. Сразу переворачиваем их, запуская новый полный семиминутный цикл. Длинные часы продолжают идти.

Получите запас на четыре минуты

Когда опустеют одиннадцатиминутные часы, от второго запуска коротких прошло $11-7=4$ минуты. Внизу коротких часов теперь песок на $4$ минуты течения, а вверху — на $3$ Переворачиваем короткие часы именно в этот наблюдаемый момент.

Дождитесь нужного сигнала

После второго переворота наверху оказывается четырёхминутный запас песка. Он заканчивается в момент $11+4=15$ минут от исходного старта. Считать песчинки или оценивать заполнение на глаз не требуется: все действия привязаны к окончанию одного из приборов.

Следим за песком в семиминутных часах

010 минутзапустить оба прибора

027 минутперевернуть часы на 7 минут

0311 минутснова перевернуть их

0415 минутих верхняя часть опустела

Ответ

Ровно $15$ минут: запустить оба таймера, перевернуть $7$ -минутный на $7$ -й и $11$ -й минутах; его следующее опустошение даст $15$ -ю минуту.

Главная идея

Полезным ресурсом может быть уже отмеренная часть процесса, а не только его полная длительность.

Как заметить эту идею в другой задаче

Два таймера отмеряют неподходящие целые интервалы. Учитывайте остаток времени в перевёрнутом таймере после события на другом.

Возможная ошибка

После переворота в момент $11$ ждать ещё $7$ минут. Наверх перемещается только песок, успевший накопиться снизу за четыре минуты.

Источник и примечания

Источник и редакция

Классическая задача. Формулировка и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Как теми же часами отмерить интервал ровно $4$ минуты, если его начало разрешено назначить после одновременного запуска?

Ответ к дополнительной задаче

Начните нужный интервал, когда семиминутные часы закончатся, и завершите, когда закончатся одиннадцатиминутные. Между этими сигналами $11-7=4$ минуты.