Шаг в будущее 2023/24 · Физика · 9 кл., №4 — решение · финал

Условие

На некоторой планете с вдвое большей плотностью и диаметром в четыре раза меньше земного пропала атмосфера. Для определения, почему так произошло, на поверхность планеты был отправлен исследовательский модуль массой $m=100\,\text{кг}$ Чтобы он безопасно спустился на поверхность планеты и амортизаторы сработали как надо, его кинетическая энергия при касании не должна превышать $E=200\,\text{кДж}$ В тот момент снижения, когда его скорость станет горизонтальной к поверхности планеты, модуль полностью отключает двигатели. Определите максимально возможную скорость в этот момент, если известно, что после отключения двигателей до успешного приземления прошло $t=12\,\text{с}$ Изменением силы гравитационного взаимодействия с высотой пренебречь. Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g=10\,\text{м/с}^2$ Объем шара определяется по формуле: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Размеры и траектория схематические. После отключения двигателей начальная скорость горизонтальна.

$\rho_{\mathrm{п}}=2\rho$ $R_{\mathrm{п}}=\frac{R}{4}$ . Масса модуля $m=100\,\text{кг}$ время падения $t=12\,\text{с}$ допустимая энергия $E=200\,\text{кДж}$

О задаче · 9 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Два тела — одна шкала времени

$b$ — исходное расстояние по горизонтали от рогатки до болтика; его начальная высота над рогаткой тоже равна $b$ Начало координат — у рогатки. Координаты показаны в единицах $b$ $\dfrac{x}{b}=0{,}5$ означает $x=\dfrac b2$

Параметр

\lambda=\dfrac{V_0}{\sqrt{gb}}

— начальная скорость в единицах

\sqrt{gb}

Ползунок меняет

V_0

и обе начальные компоненты поровну, поэтому угол остаётся

45^\circ

Масштабы

b

g

остаются прежними; меняются траектория, время, высота и скорость встречи.

Начальная скорость

\lambda

: Время от пуска до встречи

Показан диапазон $1\le\lambda\le2{,}2$ встреча не ниже рогатки. Для минимума $\lambda=\sqrt[4]{2}$ Вертикальные скорости направлены вверх при положительном знаке, вниз — при отрицательном.

Статичный режим

Вертикальная ось:

\dfrac yb

Горизонтальная ось:

\dfrac xb

● Снаряд · ■ Болтик · ◌ Будущая точка встречи. Стрелки показывают скорости.

Сейчас: положение и скорость тел

$t=$ 0 $\sqrt{\dfrac{b}{g}}$

Тело	$\dfrac{x}{b}$	$\dfrac{y}{b}$	$\dfrac{v_x}{\sqrt{gb}}$	$\dfrac{v_y}{\sqrt{gb}}$
Снаряд	0	0	0,841	0,841
Болтик	1	1	0	0

При встрече: результат для выбранной начальной скорости

Кольцо на графике отмечает точку встречи. Эти значения зависят от начальной скорости; ползунок времени их не меняет.

Время встречи: $\sqrt{\dfrac{b}{g}}$
Высота над рогаткой: $\dfrac{y_{\text{встр}}}{b}=$
Скорость снаряда при встрече: $\dfrac{v_{\text{с, встр}}}{\sqrt{gb}}=$
Её квадрат — величина для минимизации: $\dfrac{v_{\text{с, встр}}^2}{gb}=$

Здесь скорость снаряда относительно неподвижной рогатки, не скорость болтика и не относительная скорость двух тел. Числа нормированы: секунды и метры можно получить, только задав численные $b$ и $g$ .

Три статичных состояния

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Из $g=\frac{GM}{R^2}$ и $M=\frac{4}{3}\pi\rho R^3$ следует $g\propto\rho R$

Подсказка 2

После выключения двигателя горизонтальная скорость постоянна, а вертикальная через время $t$ равна $g_{\mathrm{п}}t$ Их квадраты складываются.

Разобрать решение по шагам

Найдём тяжесть на поверхности планеты

Более высокая плотность сама по себе ещё не означает более сильную тяжесть: планета одновременно меньше. Объединим обе величины. Масса шара выражается через плотность и объём:

M=\rho V,\qquad V=\frac{4}{3}\pi R^3.

Подставим массу в формулу ускорения у поверхности:

g=\frac{GM}{R^2}=\frac{G\rho\frac{4}{3}\pi R^3}{R^2}=\frac{4}{3}\pi G\rho R.

Общие множители у Земли и планеты одинаковы, поэтому важно только произведение $\rho R$ Диаметр уменьшен вчетверо — радиус тоже. Следовательно,

\frac{g_{\text{п}}}{g_{\text{З}}}=\frac{\rho_{\text{п}}}{\rho_{\text{З}}}\cdot\frac{R_{\text{п}}}{R_{\text{З}}}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2},

то есть $g_{\text{п}}=5\,\text{м/с}^2$ .

Размеры и траектория схематические. После отключения двигателей начальная скорость горизонтальна.

Построим треугольник скоростей

При выключении двигателей скорость горизонтальна; обозначим её модуль через $v_0$ В принятой модели полёта у поверхности гравитация направлена вертикально, а сопротивления воздуха нет. Поэтому горизонтальная составляющая не меняется: $v_x=v_0$

Вертикальная скорость изначально нулевая. Через $12\,\text{с}$ её модуль равен $v_y=g_{\text{п}}t=5\cdot12=60\,\text{м/с}$ . Горизонтальная и вертикальная составляющие перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора

v^2=v_x^2+v_y^2=v_0^2+60^2.

Здесь $v_y$ обозначает модуль направленной вниз составляющей.

Справа отдельно показан треугольник скоростей. Его стороны не являются частями траектории.

$g_{\mathrm{п}}$ — ускорение на планете, $v_0$ — неизменная горизонтальная скорость, $v_y=g_{\mathrm{п}}t$ — вертикальная составляющая, $v$ — полная скорость. Ограничение относится к $E_{\mathrm{кас}}=\frac{mv^2}{2}$ .

Выделим допустимую горизонтальную часть энергии

В момент касания ограничена полная кинетическая энергия:

E_{\text{кас}}=\frac{mv^2}{2}=\frac{m}{2}\left(v_0^2+(g_{\text{п}}t)^2\right)\le E.

При фиксированных $m$ и $t$ увеличение $v_0$ увеличивает эту энергию. Максимальная допустимая скорость достигается на границе, при равенстве:

v_{0,\max}^2=\frac{2E}{m}-(g_{\text{п}}t)^2.

Переведём $200\,\text{кДж}=200000\,\text{Дж}$ :

\begin{aligned}v_{0,\max}&=\sqrt{\frac{2\cdot200000}{100}-60^2}\,\text{м/с}\\[0.3em]&=\sqrt{4000-3600}\,\text{м/с}=20\,\text{м/с}.\end{aligned}

Берём неотрицательный корень, потому что ищем модуль скорости. Проверка: вертикальной части соответствует $180\,\text{кДж}$ горизонтальной — $20\,\text{кДж}$ вместе ровно $200\,\text{кДж}$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$20\,\text{м/с}$

Главная идея

Сначала найдём ускорение свободного падения на планете, затем отделим горизонтальную скорость от набранной при падении вертикальной.

Как заметить эту идею в другой задаче

У планеты изменены плотность и размер. Сначала выразите её массу через плотность и радиус, затем найдите местное ускорение свободного падения.

Возможная ошибка

В момент посадки ограничена полная кинетическая энергия. Нельзя отдать весь её запас горизонтальной скорости, забыв вертикальную составляющую.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3, 4 · задача 4 ↗

Шаг в будущее · 2023/24 · физика · 9 класс · заключительный этап · вариант 1.

Сохранены проверка и процедурные замечания исходного пилота. Ответ сопоставлен с официальным материалом; перенос страницы не является новой независимой экспертизой доказательства.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Закон всемирного тяготения
Плотность
Равноускоренное движение
Кинетическая энергия
Теорема Пифагора

Приёмы решения: Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →