Шаг в будущее 2023/24 · Физика · 10 кл., №4 — решение · финал

Условие

Горизонтально расположенный цилиндрический сосуд с поршнем находится в вакууме. Закрепленная с одной стороны пружина упирается в поршень. Вначале поршень расположен почти вплотную к левому основанию цилиндра, пружина при этом не деформирована (см. рисунок 4а). В сосуде открывается клапан $K$ через который в него впускают некоторое количество инертного газа аргона из присоединенного к сосуду баллона, после чего клапан закрывается, и баллон убирают от сосуда. После установления теплового равновесия в сосуде, поршень оказался смещенным на $\Delta L=5\,\text{см}$ от левого основания (рисунок 4б). Затем газ в сосуде начинают медленно нагревать, в результате чего поршень сдвигается еще (дополнительно) на 5 см, при этом аргон совершает работу $A=1{,}5\,\text{кДж}$ Какое количество тепла было передано газу при нагревании? Трение между поршнем и боковой поверхностью сосуда отсутствует. Теплоемкостью сосуда, поршня и пружины пренебречь.

Три состояния из условия: клапан K открыт только во время впуска газа. Рисунок схематический.

$x_1=5\,\text{см}$ $x_2=10\,\text{см}$ $S$ — площадь поршня, $k$ — жёсткость пружины. Работа при нагреве $A=1{,}5\,\text{кДж}$

О задаче · 10 класс · 14 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы14 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Пусть $x$ — смещение от начального положения. В равновесии $pS=kx$ а $V=Sx$

Подсказка 2

Для одноатомного газа $U=\frac{3}{2}pV=\frac{3}{2}kx^2$ . Работа газа равна увеличению энергии пружины $\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$

Разобрать решение по шагам

Выделим только последующий нагрев

Не смешиваем впуск газа с нагревом после закрытия клапана. Пусть $x$ — смещение поршня от положения с недеформированной пружиной. Перед нагревом $x_1=5\,\text{см}$ после нагрева $x_2=10\,\text{см}$ Начальный зазор у основания считаем пренебрежимо малым, как в модели условия; при площади поршня $S$ объём газа равен $V=Sx$

Сила давления направлена вправо, сила пружины — влево. Смещения отсчитываются от положения до впуска газа.

$V=Sx$ $pS=kx$ $Q$ — переданное тепло; $A$ — работа газа; $U$ — внутренняя энергия аргона. Изменения связаны равенством $Q=\Delta U+A$

Свяжем состояние газа с пружиной

Нагрев медленный, трения нет, снаружи вакуум. Сила давления уравновешивает пружину:

F_{\text{давл}}=F_{\text{пруж}},\qquad pS=kx.

Чтобы перейти к энергии одноатомного газа, нам нужно произведение $pV$ Для этого домножим равенство на $x$

pSx=kx^2.

Так как $Sx=V$ получаем $pV=kx^2$ Эта замена связывает термодинамику с тем же смещением поршня, которое определяет энергию пружины.

Запишем внутреннюю энергию двух состояний

Аргон — одноатомный идеальный газ, поэтому $U=\frac{3}{2}pV$ В каждом из двух состояний подставим $pV=kx^2$

U_1=\frac{3k}{2}x_1^2,\qquad U_2=\frac{3k}{2}x_2^2.

Вычтем первую энергию из второй:

\Delta U=U_2-U_1=\frac{3k}{2}\left(x_2^2-x_1^2\right).

Сравним прирост энергии с работой

Механическая работа газа идёт на дополнительное сжатие пружины. Её энергия увеличивается от $\frac{kx_1^2}{2}$ до $\frac{kx_2^2}{2}$ поэтому

A=\frac{k}{2}\left(x_2^2-x_1^2\right).

В выражении для $\Delta U$ та же скобка и тот же коэффициент, только умноженный на $3$ Значит, $\Delta U=3A$

На графике это можно проверить: из $pS=kx$ и $x=\frac{V}{S}$ следует $p=\frac{k}{S^2}V$ Работа газа равна площади под этим прямым участком между $V_1$ и $V_2$ площадь трапеции даёт то же выражение для $A$

Заштрихована только работа при последующем нагревании. Начальное заполнение в неё не входит.

$p=\frac{k}{S^2}V$ $V_2=2V_1$ $p_2=2p_1$ Обе оси имеют условную шкалу; площадь трапеции равна $A$

Учтём обе части полученного тепла

По первому началу термодинамики полученное тепло расходуется и на внутреннюю энергию, и на работу:

Q=\Delta U+A=3A+A=4A.

Подставляя заданную работу, получаем

Q=4\cdot1{,}5\,\text{кДж}=6\,\text{кДж}.

Из них $4{,}5\,\text{кДж}$ увеличивают внутреннюю энергию, а $1{,}5\,\text{кДж}$ переходят в энергию пружины. Тепло и работа первоначального впуска газа в этот баланс не входят.

Ответ

$6\,\text{кДж}$

Главная идея

Давление пропорционально смещению поршня, а объём — тому же смещению. Это связывает изменение внутренней энергии с работой пружины.

Как заметить эту идею в другой задаче

Медленно движущийся поршень связан с пружиной. Равновесие сил связывает давление с перемещением, а геометрия цилиндра — объём с тем же перемещением.

Возможная ошибка

Работа газа не равна всей переданной теплоте: одновременно растёт внутренняя энергия газа. Нагрев нельзя считать изобарным.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 4 · задача 4 ↗

Шаг в будущее · 2023/24 · физика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Сохранены проверка и процедурные замечания исходного пилота. Ответ сопоставлен с официальным материалом; перенос страницы не является новой независимой экспертизой доказательства.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Продвинутая подготовка

Закон Гука
Идеальный газ
Внутренняя энергия одноатомного газа
Первое начало термодинамики

Приёмы решения: Первый закон для цикла

Задать вопрос по задаче →