Шаг в будущее 2023/24 · Математика · 10 кл., №1

Условие

Имеется шесть карточек с буквами С, О, Б, А, К, И. Сколькими способами можно расположить все карточки в ряд так, чтобы не было трех согласных подряд и не было трех гласных подряд?

О задаче · 10 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы12 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

В слове три гласные и три согласные. На время считайте буквы одного типа одинаковыми.

Подсказка 2

Выберите три места для гласных из шести: всего $C_6^3=20$ схем. Переберите их систематически и исключите схемы с тремя одинаковыми типами подряд. При подсчёте запрещённых схем следите за двойным вычитанием.

Разобрать решение по шагам

Сначала расставим типы, а не буквы

Гласные — О, А, И; согласные — С, Б, К. Запрет зависит только от соседства типов. Обозначим гласную знаком «Г», согласную — «С». Здесь «С» означает тип карточки, а не только конкретную букву С. Например, схема «Г · С · Г · С · Г · С» подходит, а «Г · Г · Г · С · С · С» — нет.

Проверим все схемы без пропусков

Достаточно выбрать три места для гласных из шести: остальные места займут согласные. Это число сочетаний $C_6^3=20$ нижний индекс — все места, верхний — сколько выбираем. В таблице тройки мест записаны по возрастанию: сначала с первым местом, затем со вторым и так далее. Поэтому каждая возможная тройка встречается ровно один раз. Из всех $20$ схем исключаем $6$ остаётся $14$

Места гласных	Схема типов	Проверка
1, 2, 3	Г · Г · Г · С · С · С	Исключаем: три гласные подряд и три согласные подряд
1, 2, 4	Г · Г · С · Г · С · С	Подходит
1, 2, 5	Г · Г · С · С · Г · С	Подходит
1, 2, 6	Г · Г · С · С · С · Г	Исключаем: три согласные подряд
1, 3, 4	Г · С · Г · Г · С · С	Подходит
1, 3, 5	Г · С · Г · С · Г · С	Подходит
1, 3, 6	Г · С · Г · С · С · Г	Подходит
1, 4, 5	Г · С · С · Г · Г · С	Подходит
1, 4, 6	Г · С · С · Г · С · Г	Подходит
1, 5, 6	Г · С · С · С · Г · Г	Исключаем: три согласные подряд
2, 3, 4	С · Г · Г · Г · С · С	Исключаем: три гласные подряд
2, 3, 5	С · Г · Г · С · Г · С	Подходит
2, 3, 6	С · Г · Г · С · С · Г	Подходит
2, 4, 5	С · Г · С · Г · Г · С	Подходит
2, 4, 6	С · Г · С · Г · С · Г	Подходит
2, 5, 6	С · Г · С · С · Г · Г	Подходит
3, 4, 5	С · С · Г · Г · Г · С	Исключаем: три гласные подряд
3, 4, 6	С · С · Г · Г · С · Г	Подходит
3, 5, 6	С · С · Г · С · Г · Г	Подходит
4, 5, 6	С · С · С · Г · Г · Г	Исключаем: три гласные подряд и три согласные подряд

Вернём разные буквы на выбранные места

В каждой допустимой схеме три разные гласные можно расставить $3\cdot2\cdot1=3!=6$ способами. Независимо от этого три разные согласные можно расставить ещё $6$ способами. Значит, одна схема даёт $6\cdot6=36$ строк, а все схемы дают

N=14\cdot6\cdot6=504.

Любая строка однозначно задаёт свою схему типов и порядок букв внутри каждого типа: повторного счёта нет.

Другой способ: считать запрещённые схемы

Три согласные подряд образуют блок, который может начинаться на одном из четырёх мест. Это схемы «СССГГГ», «ГСССГГ», «ГГСССГ», «ГГГССС». Для блока гласных получаем «ГГГССС», «СГГГСС», «ССГГГС», «СССГГГ». Схемы «СССГГГ» и «ГГГССС» оказались в обоих списках. При вычитании их исключили бы дважды, поэтому возвращаем по одному разу:

20-4-4+2=14.

Ответ

$504$

Главная идея

Разделить выбор на два независимых уровня: допустимые схемы типов и перестановки разных букв внутри каждого типа.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если ограничение относится к соседству типов, а внутри типов объекты различны, сначала удобно посчитать последовательности типов. Затем каждую схему можно заполнить конкретными объектами.

Возможная ошибка

При подсчёте запрещённых схем нельзя просто вычесть четыре случая для каждого типа: две схемы нарушают оба запрета и будут вычтены дважды. Их нужно вернуть по одному разу.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2023/24 · математика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Сохранены проверка и процедурные замечания исходного пилота. Ответ сопоставлен с официальным материалом; перенос страницы не является новой независимой экспертизой доказательства.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Правило умножения
Перестановки трёх различных объектов
Систематический перебор

Приёмы решения: Подсчёт дополнения

Задать вопрос по задаче →