Три двери: почему выгодно передумать? — разбор задачи

Условие

За тремя дверями с равными вероятностями размещён автомобиль; за остальными — две овцы. Вы выбираете дверь. Ведущий знает, где автомобиль, всегда открывает другую дверь с овцой и всегда предлагает поменять выбор. Если можно открыть любую из двух дверей с овцами, он выбирает случайно. Как выгоднее играть: оставаться или менять?

Попробовать в интерактиве →

О задаче · Школьники и взрослые

Тема: Вероятность
Для кого: Школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Рассмотрите отдельно случай, когда первый выбор попал в автомобиль, и случай, когда он попал в овцу.

Подсказка 2

При первом выборе овцы ведущий вынужден убрать вторую овцу. Что останется за другой закрытой дверью?

Разобрать решение по шагам

Следите за первым выбором

В автомобиль с первого раза попадаем с вероятностью $\frac{1}{3}$ В овцу — с вероятностью $\frac{2}{3}$

Проследите действие ведущего

Если выбран автомобиль, смена проигрывает. Если выбрана любая овца, ведущий убирает другую овцу, и смена выигрывает.

Сравните стратегии

Смена выигрывает ровно тогда, когда первоначальный выбор был неверным: в $\frac{2}{3}$ случаев. Сохранение выбора выигрывает в $\frac{1}{3}$ Это парадокс Монти Холла.

Первый выбор	Остаться	Поменять
Автомобиль · 1/3	Победа	Проигрыш
Овца № 1 · 1/3	Проигрыш	Победа
Овца № 2 · 1/3	Проигрыш	Победа

Ответ

Менять дверь: вероятность выигрыша $\frac{2}{3}$ вместо $\frac{1}{3}$

Главная идея

Число оставшихся вариантов само по себе ничего не говорит об их вероятностях. Важен способ, которым варианты исключили.

Как заметить эту идею в другой задаче

Ведущий знает расположение приза и всегда убирает проигрышный вариант. Сравнивайте стратегии по исходному выбору, а не по числу оставшихся дверей.

Возможная ошибка

Приписать двум закрытым дверям равные шансы. Ведущий открывал дверь со знанием ответа и по фиксированному правилу.

Источник и примечания

Источник и редакция

Классическая задача. Формулировка, рисунки и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Теперь дверей $100$ Ведущий открывает $98$ других дверей с овцами и всегда предлагает смену. Каков шанс выиграть при смене?

Ответ к дополнительной задаче

$\frac{99}{100}$ Смена проигрывает только при попадании в автомобиль с первого выбора — это $\frac{1}{100}$

Продолжить тему: Вероятность →

Тема, знания и приёмы

Вероятность · Нужна школьная база

Вероятность равновозможных исходов
Правило действий ведущего

Приёмы решения: Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →

Условие

Следите за первым выбором

Проследите действие ведущего

Сравните стратегии

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача