Сто шкафчиков: какие останутся открыты?

Условие

$100$ закрытых шкафчиков пронумерованы от $1$ до $100$ На первом проходе меняют состояние всех, на втором — каждого второго, на третьем — каждого третьего, и так до сотого. Какие шкафчики будут открыты?

Попробовать в интерактиве →

О задаче · Школьники и взрослые

Тема: Делимость
Для кого: Школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Шкафчик № $12$ переключат на проходах, номера которых делят $12$

Подсказка 2

Обычно делители образуют пары. Когда один делитель остаётся без пары?

Разобрать решение по шагам

Замените проходы делителями

Шкафчик $n$ переключают столько раз, сколько у $n$ положительных делителей. Он открыт, если их нечётное число.

Разбейте делители на пары

Если $d$ делит $n$ ему соответствует $\frac{n}{d}$ Эти числа разные, кроме случая $d^2=n$

Выберите квадраты

Открыты ровно $1$ $4$ $9$ $16$ $25$ $36$ $49$ $64$ $81$ $100$ десять шкафчиков.

Делители 36 объединяются в пары

011 · 36две перемены

022 · 18, 3 · 12, 4 · 9ещё шесть перемен

036 · 6один делитель 6

У квадрата есть непарный делитель — его квадратный корень.

Ответ

Открыты $10$ шкафчиков: номера $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$ .

Главная идея

Чтобы понять чётность большого количества действий, найдите способ объединить их в пары.

Как заметить эту идею в другой задаче

Объект переключают по всем делителям его номера. Разбейте делители на пары и найдите, когда один делитель остаётся без пары.

Возможная ошибка

Переключать все шкафчики вручную и искать закономерность без объяснения.

Источник и примечания

Источник и редакция

Классическая задача. Формулировка, рисунки и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Сколько открытых шкафчиков будет среди $1000$

Ответ к дополнительной задаче

$31\mathbin{:} 31^{2} = 961$ , а $32^{2} = 1024$ уже больше $1000$

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Делители натурального числа
Чётность числа переключений

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →

Условие

Замените проходы делителями

Разбейте делители на пары

Выберите квадраты

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача