Коллекция почти собрана. Почему приходится ждать?

Условие

В каждой упаковке находится одна карточка одного из четырёх видов. Виды равновероятны, содержимое разных упаковок независимо. Повторения возможны, обмена нет. Сколько упаковок в среднем понадобится купить, чтобы впервые собрать все четыре вида? Покупки прекращаются сразу после завершения коллекции. Речь идёт о математическом ожидании, а не о гарантированном сроке.

О задаче · Подростки и взрослые

Тема: Математическое ожидание
Для кого: Подростки и взрослые
Уровень библиотеки: Продвинутый · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Разбейте сбор на этапы: получить первый новый вид, второй, третий и четвёртый.

Подсказка 2

Если новый вид появляется с вероятностью $p$ при каждой независимой попытке, среднее число попыток до него равно $\frac1p$

Разобрать решение по шагам

Найдите вероятность успеха на каждом этапе

Пока нет ни одного вида, первая карточка обязательно новая. После первого вида не хватает трёх из четырёх: вероятность нового $\frac{3}{4}$ После двух видов она равна $\frac{2}{4}$ после трёх — $\frac{1}{4}$ Повторные карточки не меняют набор недостающих видов, поэтому в пределах этапа вероятность остаётся постоянной.

Обоснуйте среднее ожидание

Для независимых попыток с постоянной вероятностью успеха $p$ среднее время ожидания равно $\frac1p$ Это можно увидеть по хвостам распределения: шанс ждать больше $k$ попыток равен $(1-p)^k$ Первая попытка нужна всегда, вторая — если первая не удалась, третья — если не удались первые две, и так далее. Складывая средний вклад каждой возможной попытки, получаем сумму геометрической прогрессии:

1+(1-p)+(1-p)^2+\cdots=\frac1p.

Поэтому этапы в среднем требуют $1$ $\frac43$ $2$ и $4$ упаковки.

Сложите этапы и истолкуйте ответ

Всего в среднем нужно

1+\frac43+2+4=\frac{25}{3}\approx8{,}33

упаковки. Складывать средние длительности этапов можно независимо от того, независимы ли сами длительности. Дробный ответ нормален для среднего, хотя число упаковок в каждом отдельном опыте целое. Фиксированного числа покупок, гарантирующего полный набор, нет: повторения могут продолжаться сколь угодно долго.

Четыре этапа с разным ожиданием

010 → 1 видвероятность нового 1; в среднем 1 упаковка

021 → 2 видавероятность 3/4; в среднем 4/3

032 → 3 видавероятность 1/2; в среднем 2

043 → 4 видавероятность 1/4; в среднем 4

Ответ

\frac{25}{3}\approx8{,}33

упаковки в среднем. Конечного числа упаковок, гарантирующего сбор, нет.

Главная идея

Когда вероятность нового успеха меняется, разделите процесс на этапы с постоянными условиями.

Как заметить эту идею в другой задаче

Нужно собрать все виды при повторах. Разбейте ожидание по числу уже собранных видов: на каждом этапе меняется вероятность получить новый.

Возможная ошибка

Назвать четыре упаковки достаточными потому, что видов четыре, или принять среднее $8{,}33$ за срок, после которого коллекция обязательно полна.

Источник и примечания

Источник и редакция

Классическая задача. Формулировка и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Если равновероятных видов всего два, сколько упаковок потребуется в среднем?

Ответ к дополнительной задаче

$3$ Первый вид появляется в первой упаковке. После этого второй встречается с вероятностью $\frac{1}{2}$ поэтому среднее дополнительное ожидание равно $2$ Итого $1+2=3$

Тема, знания и приёмы

Вероятность · Уровень уточняется

Независимые испытания с постоянной вероятностью
Математическое ожидание
Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Приёмы решения: Переход от шага к следующему · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →

Условие

Найдите вероятность успеха на каждом этапе

Обоснуйте среднее ожидание

Сложите этапы и истолкуйте ответ

Источник и редакция

Продолжить чтение

Условие

Дополнительная задача